Por meio de uma translação escreva a equação da cônica na forma padrão e identifique seus elementos principais.
y^2-4 x-6 y+2=0

Passo 1

O enunciado fornece a cônica
y^2-4x-6y+2=0
e pede para reescrevê-la, via translação, na forma padrão de uma parábola. Note que há termo quadrático só em y, portanto trata-se de uma parábola com eixo paralelo a x. Vamos completar o quadrado em y para obter a forma vértice.

Passo 2

Agrupamos os termos em y e isolamos o restante:
y^2-6y;-4x+2=0
Para completar o quadrado no bloco y^2-6y usamos
y^2-6y = (y-3)^2-9
Substituindo na equação original:
(y-3)^2-9 -4x +2 = 0

Passo 3

Reescrevendo e isolando x:
(y-3)^2 -4x -7 = 0
4x = (y-3)^2 -7
x = 14(y-3)^2 - 74

Passo 4

Passando para a forma vértice (y-k)^2 = 4p(x-h):
(y-3)^2 = 4l(x + tfrac74r)
Dessa comparação vemos que
h = -tfrac74, k = 3, p = 1
Ou seja, o vértice é l(-tfrac74,3r) e a parábola abre-se para a direita.

Passo 5

Com p=1 e eixo horizontal:
O foco está em
(h+p,;k) = l(-tfrac74+1,;3r) = l(-tfrac34,3r)
A diretriz é a reta
x = h - p = -tfrac74 - 1 = -tfrac114
O eixo de simetria é a reta y = k = 3.
O comprimento do latus-rectum vale lvert4prvert = 4, e seus extremos, situados no foco e perpendiculares ao eixo, são
l(-tfrac34,,3+2r) = l(-tfrac34,5r) e l(-tfrac34,,3-2r) = l(-tfrac34,1r)

Resposta

A forma padrão da parábola é
(y-3)^2 = 4l(x + tfrac74r)
Vértice: l(-tfrac74,3r).
Foco: l(-tfrac34,3r).
Diretriz: x = -tfrac114.
Eixo de simetria: reta y = 3.
Comprimento do latus-rectum: 4, com extremidades em l(-tfrac34,5r) e l(-tfrac34,1r).

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