1. Identifique a trajetória de uma partícula em movimento, em que a distância da partícula à reta r: x+3=0 é sempre duas unidades maior que sua distância ao ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que a distância à reta
r:;x+3=0
é sempre duas unidades maior do que a distância ao ponto P=(1,1).
Conteúdo: lugar geométrico pela comparação de distâncias.

Passo 2

A fórmula da distância de (x,y) à reta x+3=0 é
dreta=lvert x+3rvertraiz1^2=lvert x+3rvert
e a distância ao ponto P é
dP=raiz(x-1)^2+(y-1)^2
Pelo enunciado,
lvert x+3rvert = dP+2 = raiz(x-1)^2+(y-1)^2+2

Passo 3

Analisamos primeiro o caso x+3>=0, isto é x>=-3. Então lvert x+3rvert=x+3 e
x+3 = raiz(x-1)^2+(y-1)^2 + 2
Longrightarrow raiz(x-1)^2+(y-1)^2 = x+1
Para que o lado direito seja não negativo precisamos de x+1>=0, ou seja x>=-1.

Passo 4

Elevando ao quadrado em raiz(x-1)^2+(y-1)^2 = x+1, obtemos
(x+1)^2 = (x-1)^2 + (y-1)^2
Expandindo e simplificando:
x^2 +2x +1 = x^2 -2x +1 + y^2 -2y +1
Longrightarrow 2x +1 = -2x + y^2 -2y +2
Longrightarrow 4x +2y -1 - y^2 =0
ou seja
y^2 -2y -4x +1 = 0

Passo 5

No ramo x+3<0 (isto é x<-3) teríamos lvert x+3rvert=-(x+3) e, seguindo processo análogo, chegamos a uma parábola cujo domínio exigiria x<=-5. Mas essa parábola não gera pontos reais que satisfaçam simultaneamente o domínio obtido. Logo sobra apenas a equação do ramo anterior.

Resposta

O lugar geométrico é a parábola de equação
y^2 -2y -4x +1 = 0,
que em forma canônica é
(y-1)^2 = 4x

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