Por meio de uma translação escreva a equação da cônica na forma padrão e identifique seus elementos principais.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a cônica
na forma padrão por meio de translação, ou seja, completando o quadrado para descobrir o centro e identificar tipo, vértices, focos e assíntotas. Vamos usar o método de agrupar termos em
e em
, fatorar os coeficientes e completar o quadrado.
Passo 2
Agrupamos os termos em
e em
e fatoramos 3 e
:
Agora completamos o quadrado dentro de cada parêntese:
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação original:
Distribuindo e reunindo constantes:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos a forma padrão:
Passo 4
Da forma
vemos que é uma hipérbole centrada em
. Como o termo positivo envolve
, o eixo transverso é horizontal. Aqui
logo
e
.
Passo 5
Para encontrar os focos, calculamos
logo
.
– Vértices: e
.
– Focos: e
.
– Assíntotas: passam pelo centro e têm coeficiente angular , ou seja,
– Vértices:
– Focos:
– Assíntotas: passam pelo centro e têm coeficiente angular
Resposta
Equação na forma padrão:
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Assíntotas:
Vértices:
Focos:
Assíntotas: