Por meio de uma translação escreva a equação da cônica na forma padrão e identifique seus elementos principais.
3 x^2-4 y^2+12 x+8 y=4

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a cônica
3x^2-4y^2+12x+8y=4
na forma padrão por meio de translação, ou seja, completando o quadrado para descobrir o centro e identificar tipo, vértices, focos e assíntotas. Vamos usar o método de agrupar termos em x e em y, fatorar os coeficientes e completar o quadrado.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e fatoramos 3 e -4:
3l(x^2+4xr);-;4l(y^2-2yr);=;4
Agora completamos o quadrado dentro de cada parêntese:
x^2+4x = (x+2)^2 - 4,
y^2-2y = (y-1)^2 - 1

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original:
3l((x+2)^2-4r);-;4l((y-1)^2-1r);=;4
Distribuindo e reunindo constantes:
3(x+2)^2 -12 ;-;4(y-1)^2 +4 = 4
3(x+2)^2 -4(y-1)^2 = 12
Dividindo ambos os lados por 12, obtemos a forma padrão:
(x+2)^24;-;(y-1)^23;=;1

Passo 4

Da forma
(x+2)^24 - (y-1)^23 = 1
vemos que é uma hipérbole centrada em (-2,1). Como o termo positivo envolve (x+2)^2, o eixo transverso é horizontal. Aqui
a^2=4, b^2=3,
logo a=2 e b=raiz3.

Passo 5

Para encontrar os focos, calculamos
c^2=a^2+b^2=4+3=7,
logo c=raiz7.
– Vértices: l(-2pm a,;1r)=l(0,1r) e l(-4,1r).
– Focos: l(-2pm c,;1r)=l(-2+raiz7,1r) e l(-2-raiz7,1r).
– Assíntotas: passam pelo centro e têm coeficiente angular pm b/a, ou seja,
y-1 = pm raiz32,(x+2)

Resposta

Equação na forma padrão:
(x+2)^24;-;(y-1)^23;=;1
Centro: (-2,1)
Vértices: (0,1) e (-4,1)
Focos: l(-2+raiz7,1r) e l(-2-raiz7,1r)
Assíntotas: y-1 = pm tfracraiz32(x+2)

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