Por meio de uma translação escreva a equação da cônica na forma padrão e identifique seus elementos principais.
2 x^2+3 y^2-42 x+12 y=20

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a cônica
2x^2+3y^2-42x+12y=20
na forma padrão por meio de translação de eixos, identificando seu centro, semi-eixos, vértices e focos. O conteúdo envolvido é completar quadrados e reconhecer que, como os coeficientes de x^2 e y^2 são positivos e distintos, trata-se de uma elipse alinhada aos eixos.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e fatoramos os coeficientes:
2l(x^2-21xr)+3l(y^2+4yr)=20

Passo 3

Em cada grupo, completamos o quadrado:
  • Para x: x^2-21x = l(x-tfrac212r)^2 - l(tfrac212r)^2
  • Para y: y^2+4y = (y+2)^2-2^2
Substituindo:
2l[(x-tfrac212)^2-tfrac4414r] +3l[(y+2)^2-4r]=20

Passo 4

Distribuímos e carregamos as constantes para o lado direito:
2(x-tfrac212)^2+3(y+2)^2 -2cdottfrac4414-3cdot4=20 ;Longrightarrow; 2(x-tfrac212)^2+3(y+2)^2=tfrac5052

Passo 5

Dividindo por tfrac5052 para obter a forma canônica cdots=1:
2tfrac5052(x-tfrac212)^2 +3tfrac5052(y+2)^2=1 Longrightarrow (x-tfrac212)^2tfrac5054 +(y+2)^2tfrac5056=1

Passo 6

Da forma
(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1
comparando com
(x-tfrac212)^2tfrac5054 +(y+2)^2tfrac5056=1
vemos:
  • Centro (h,k)=l(tfrac212,,-2r).
  • a^2=tfrac5054approx126,25 e b^2=tfrac5056approx84,17. Como a^2>b^2, o eixo maior é horizontal.
  • a=tfracraiz5052, b=raiztfrac5056.
  • Distância focal: c^2=a^2-b^2=tfrac5054-tfrac5056=tfrac50512, c=raiztfrac50512
  • Excentricidade: e=ca=raiztfrac50512tfrac5054 =1raiz3
  • Vértices maiores:
    l(tfrac212pm a,,-2r).
  • Focos:
    l(tfrac212pm c,,-2r).
  • Vértices menores:
    l(tfrac212,,-2pm br).

Resposta

Equação na forma padrão:
(x-tfrac212)^2tfrac5054 +(y+2)^2tfrac5056=1
Centro l(tfrac212,-2r), semi-eixos
a=tfracraiz5052,
b=raiztfrac5056,
focos em l(tfrac212pmraiztfrac50512,-2r) e excentricidade e=1/raiz3.

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