Por meio de uma translação escreva a equação da cônica na forma padrão e identifique seus elementos principais.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a cônica
na forma padrão por meio de translação de eixos, identificando seu centro, semi-eixos, vértices e focos. O conteúdo envolvido é completar quadrados e reconhecer que, como os coeficientes de e são positivos e distintos, trata-se de uma elipse alinhada aos eixos.
Passo 2
Agrupamos termos em e em e fatoramos os coeficientes:
Passo 3
Em cada grupo, completamos o quadrado:
Para :
Para :
Substituindo:
Passo 4
Distribuímos e carregamos as constantes para o lado direito:
Passo 5
Dividindo por para obter a forma canônica :
Passo 6
Da forma
comparando com
vemos:
Centro .
e . Como , o eixo maior é horizontal.
, .
Distância focal:
Excentricidade:
Vértices maiores: l(tfrac212pm a,,-2r).
Focos: l(tfrac212pm c,,-2r).
Vértices menores: l(tfrac212,,-2pm br).
Resposta
Equação na forma padrão:
(x-tfrac212)^2tfrac5054 +(y+2)^2tfrac5056=1
Centro l(tfrac212,-2r), semi-eixos a=tfracraiz5052, b=raiztfrac5056,
focos em l(tfrac212pmraiztfrac50512,-2r) e excentricidade e=1/raiz3.