Por meio de uma translação escreva a equação da cônica na forma padrão e identifique seus elementos principais.
Passo 1
O enunciado pede para, por meio de translação, escrever a cônica
na forma padrão e identificar seus elementos principais (tipo de cônica, centro, semi-eixos, eixos, vértices, focos e excentricidade). Vamos completar quadrados em e para encontrar o centro e depois dividir pelo termo independente para obter a forma padrão de uma elipse.
Passo 2
Reescrevemos agrupando termos em e em :
Agora completamos o quadrado em cada grupo:
Para :
Para :logo
Passo 3
Substituímos de volta e somamos as constantes:
Somando e para o outro lado:
O centro da elipse é .
Passo 4
Dividimos tudo por para obter a forma padrão:
Note que
então a forma final é
Passo 5
Identificamos os semi-eixos e . Como , temos
logo
A elipse está “esticada” na direção do eixo (horizontal) porque .
Passo 6
A excentricidade é
O valor c, distância do centro aos focos, satisfaz c=ae, ou diretamente