Por meio de uma translação escreva a equação da cônica na forma padrão e identifique seus elementos principais.
x^2+2 y^2-4 x+6 y=8

Passo 1

O enunciado pede para, por meio de translação, escrever a cônica
x^2 + 2y^2 -4x +6y = 8
na forma padrão e identificar seus elementos principais (tipo de cônica, centro, semi-eixos, eixos, vértices, focos e excentricidade). Vamos completar quadrados em x e y para encontrar o centro e depois dividir pelo termo independente para obter a forma padrão de uma elipse.

Passo 2

Reescrevemos agrupando termos em x e em y:
x^2 -4x ;+; 2l(y^2 +3yr) ;=; 8
Agora completamos o quadrado em cada grupo:
  • Para x: x^2-4x = (x-2)^2 -4
  • Para y: y^2+3y = l(y+tfrac32r)^2 -tfrac94, logo 2l(y^2+3yr) = 2l(y+tfrac32r)^2 -2cdottfrac94 = 2l(y+tfrac32r)^2 -tfrac92

Passo 3

Substituímos de volta e somamos as constantes:
(x-2)^2 -4 ;+; 2l(y+tfrac32r)^2 -tfrac92 ;=; 8
Somando -4 e -tfrac92 para o outro lado:
(x-2)^2 + 2l(y+tfrac32r)^2 = 8 +4 + tfrac92 = tfrac332
O centro da elipse é l(2,,-tfrac32r).

Passo 4

Dividimos tudo por tfrac332 para obter a forma padrão:
(x-2)^2tfrac332 ;+; 2,(y+tfrac32)^2tfrac332 =1
Note que
2tfrac332 = 433,
então a forma final é
(x-2)^2tfrac332 ;+; (y+tfrac32)^2tfrac334 =1

Passo 5

Identificamos os semi-eixos a e b. Como tfrac332>tfrac334, temos
a^2 = 332, b^2 = 334,
logo
a = raiztfrac332, b = raiztfrac334 = raiz332
A elipse está “esticada” na direção do eixo x (horizontal) porque a>b.

Passo 6

A excentricidade é
e = raiz1 - b^2a^2 = raiz1 - tfrac334tfrac332 = raiz1 - tfrac12 = raiz22
O valor c, distância do centro aos focos, satisfaz c=ae, ou diretamente
c = raiza^2 - b^2 = raiztfrac332 - tfrac334 = raiz332

Passo 7

Vértices (sobre o eixo maior, horizontal):
l(2pm a,,-tfrac32r) = l(2pm raiztfrac332,,-tfrac32r)
Co-vértices (sobre o eixo menor, vertical):
l(2,,-tfrac32pm br) = l(2,,-tfrac32pm tfracraiz332r)
Focos:
l(2pm c,,-tfrac32r) = l(2pm tfracraiz332,,-tfrac32r)

Resposta

Forma padrão:
(x-2)^2tfrac332 ;+; (y+tfrac32)^2tfrac334 =1
Centro: l(2,,-tfrac32r).
Semi-eixos: a=raiztfrac332,;b=tfracraiz332.
Excentricidade: e=tfracraiz22.
Vértices:
l(2pm raiztfrac332,,-tfrac32r).
Co-vértices:
l(2,,-tfrac32pm tfracraiz332r).
Focos:
l(2pm tfracraiz332,,-tfrac32r).

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