Identifique as cônicas abaixo, escrevendo suas equações na forma padrão.
(a) 3 x^2-10 x y+3 y^2+x=32 (hipérbole)
(b) 17 x^2-12 x y+8 y^2-68 x+24 y=12 (elipse)
(c) x^2+x y+y^2-3 y=6 (elipse)
(d) x y+x-2 y+3=0 (hipérbole)
(e) x y=k k neq 0 (hipérbole)
3. Identifique a cônica que passa nos pontos A(1,1), B(2,3), C(3,-1), D(-3,2) e E(-2,-1).
4. Por meio de uma rotação de theta=arctg(4 / 3), simplifique a equação 9 x^2+24 x y+16 y^2+80 x-60 y=0. Identifique a cônica e esboce seu gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para várias cônicas da forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
1. (a)–(e): identificar tipo (elipse ou hipérbole) e escrever em forma canônica, isto é, após (quando necessário) rotação de eixos para eliminar xy e translação para completar quadrados.
2. Determinar a cônica que passa em cinco pontos distintos – basta montar o sistema linear para os coeficientes A,B,C,D,E,F (até escala).
3. Para a equação com 9x^2+24xy+16y^2+80x-60y=0, fazer rotação de eixos com
theta=arctan(4/3), eliminar o termo misto, completar quadrados e identificar/esboçar a cônica.

Passo 2

Cálculo do discriminante De<a=B^2-4AC e classificação rápida:
(a) A=3,;B=-10,;C=3\ De<a=(-10)^2-4cdot3cdot3=100-36=64>0 Rightarrow hipérbole.
(b) A=17,;B=-12,;C=8\ De<a=144-4cdot17cdot8=144-544=-400<0 Rightarrow elipse.
(c) A=1,;B=1,;C=1\ De<a=1-4= -3<0 Rightarrow elipse.
(d) já está em xy+x-2y+3=0 Rightarrow Bneq0 e De<a=1-0=1>0 Rightarrow hipérbole.
(e) xy=k com kneq0 Rightarrow De<a=1>0 Rightarrow hipérbole.

Passo 3

Método comum para (a),(b),(c):
1. Calcular theta tal que tan2theta=tfracBA-C 2. Fazer rotação
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta
para eliminar o termo xy.
3. No novo sistema sem termo misto, agrupar em x'^2, y'^2, x', y', completar quadrados e ler a forma canônica.

Passo 4

(a) Para 3x^2-10xy+3y^2+x-32=0 usa-se tan2theta=-10/0impliestheta=-pi/4.
Em (x',y') obtém-se
-2,x'^2 + 8,y'^2 + tfracraiz22x' + tfracraiz22y' -32 = 0
Completando quadrados em x' e y' e escrevendo (x'-h)^2/a^2 - (y'-k)^2/b^2=1, chega-se a
l(x'+tfracraiz28r)^2tfrac2045128 -l(y'-(-tfracraiz232)r)^2tfrac20458 =1,
hipérbole de centro l(-tfracraiz28,-tfracraiz232r) e eixos ao longo de theta=-45^circ.

Passo 5

(b) Para 17x^2-12xy+8y^2-68x+24y-12=0:
tan2theta=-12/(17-8)=-4/3. Em (x'',y'') sem misto e após completar quadrados surge
(x''-2)^236 + (y''+1)^216 = 1,
elipse de centro (2,-1), semieixos 6 e 4, eixos girados de theta=-tfrac12arctan(4/3).

Passo 6

(c) Para x^2+xy+y^2-3y-6=0:
tan2theta=1/0impliestheta=pi/4. Logo em (x''',y''') e completando quadrados obtemos
(x'''-0)^23+raiz32 + l(y'''-tfrac32r)^23-raiz32 = 1,
elipse de centro l(0,tfrac32r), eixos girados 45^circ.

Passo 7

(d) xy + x - 2y + 3 =0. Agrupando:
x(y+1)-2(y+1)+3=0;Longrightarrow;(x-2)(y+1)= -3+2cdot1= -1 ;Longrightarrow;(x-2)(y+1)= -1
Esta é hipérbole retangular de centro (2,-1), eixos rotacionados 45^circ.

Passo 8

(e) xy=k. Se definirmos
u=x+yraiz2, v=y-xraiz2,
então
xy = u^2-v^22 = k ;Longrightarrow; u^2 - v^2 = 2k,
hipérbole canônica de centro na origem e eixos ao longo de u e v.

Passo 9

Resolvendo em relação a , encontra-se
cujo discriminante mostra que é uma hipérbole.

Passo 10

4. Para
9x^2 + 24xy + 16y^2 + 80x - 60y = 0
fazemos rotação com theta=arctan(4/3), de modo que costheta=3/5, sintheta=4/5. Em (x',y') o coeficiente de x'y' se anula e os termos lineares viram
D'=80costheta -60sintheta=0, E'=-80sintheta -60costheta=-100
O resultado é
25,x'^2 -100,y' = 0 Longrightarrow y' = x'^24
É uma parábola com vértice em (0,0) no sistema (x',y'), eixo paralelo a y'.

Resposta

(a) l(x'+tfracraiz28r)^22045/128-l(y'+tfracraiz232r)^22045/8=1, hipérbole centrada em l(-tfracraiz28,-tfracraiz232r), eixos rotacionados -45^circ.
(b) (x''-2)^236+(y''+1)^216=1, elipse de centro (2,-1), semieixos 6, 4, girada de theta=-tfrac12arctan(4/3).
(c) (x'''-0)^2tfrac3+raiz32+l(y'''-tfrac32r)^2tfrac3-raiz32=1, elipse de centro (0,tfrac32), girada 45^circ.
(d) (x-2)(y+1)=-1, hipérbole retangular de centro (2,-1), eixos a 45^circ.
(e) xy=k Longrightarrow u^2-v^2=2k com u=(x+y)/raiz2, v=(y-x)/raiz2, hipérbole canônica.
3. A cônica que passa em A,B,C,D,E é
17x^2+20xy-21y^2-13x+15y-18=0,
uma hipérbole.
4. Após rotação theta=arctan(4/3) vem
25x'^2-100y'=0 Longrightarrow y'=x'^24,
parábola de vértice na origem e eixo paralelo a y'.

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