Identifique as cônicas abaixo, escrevendo suas equações na forma padrão.
(a)
(hipérbole)
(b)
(elipse)
(c)
(elipse)
(d)
(hipérbole)
(e)
(hipérbole)
3. Identifique a cônica que passa nos pontos
e
.
4. Por meio de uma rotação de
, simplifique a equação
. Identifique a cônica e esboce seu gráfico.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
3. Identifique a cônica que passa nos pontos
4. Por meio de uma rotação de
Passo 1
O enunciado pede para várias cônicas da forma geral
Passo 2
Cálculo do discriminante
e classificação rápida:
(a) \
hipérbole.
(b) \
elipse.
(c) \
elipse.
(d) já está em e
hipérbole.
(e) com
hipérbole.
(a)
(b)
(c)
(d) já está em
(e)
Passo 3
Método comum para (a),(b),(c):
. Calcular
tal que
. Fazer rotação
para eliminar o termo
.
. No novo sistema sem termo misto, agrupar em
,
,
,
, completar quadrados e ler a forma canônica.
Passo 4
(a) Para
usa-se
.
Em obtém-se
Em
Completando quadrados em
e
e escrevendo
, chega-se a
hipérbole de centro
e eixos ao longo de
.
Passo 5
(b) Para
:
. Em
sem misto e após completar quadrados surge
elipse de centro
, semieixos
e
, eixos girados de
.
Passo 6
(c) Para
:
. Logo em
e completando quadrados obtemos
elipse de centro
, eixos girados
.
Passo 7
(d)
. Agrupando:
Esta é hipérbole retangular de centro
, eixos rotacionados
.
Passo 8
(e)
. Se definirmos
então
hipérbole canônica de centro na origem e eixos ao longo de
e
.
Passo 9
Resolvendo em relação a , encontra-se
cujo discriminante
mostra que é uma hipérbole.
Passo 10
fazemos rotação com
, de modo que
,
. Em
o coeficiente de
se anula e os termos lineares viram
O resultado é
É uma parábola com vértice em
no sistema
, eixo paralelo a
.
Resposta
(a)
, hipérbole centrada em
, eixos rotacionados
.
(b) , elipse de centro
, semieixos
,
, girada de
.
(c) , elipse de centro
, girada
.
(d) , hipérbole retangular de centro
, eixos a
.
(e) com
,
, hipérbole canônica.
. A cônica que passa em
é
(b)
(c)
(d)
(e)
uma hipérbole.
. Após rotação
vem
parábola de vértice na origem e eixo paralelo a
.