Por meio de uma translação escreva a equação da cônica na forma padrão e identifique seus elementos principais.
( a parábola bary^2=4 barx )

Passo 1

O enunciado dá a parábola em coordenadas transladadas (bar x,bar y) pela equação
bar y^2=4,bar x
O que ele pede é mostrar que, após a translação de eixos, essa é a forma padrão de uma parábola com vértice na origem dos eixos (bar x,bar y) e identificar seus elementos principais (vértice, foco, diretriz, eixo e comprimento do parâmetro focal).

Passo 2

Recordando a forma geral de uma parábola cujo eixo é paralelo ao eixo x, temos
bar y^2=4p,bar x,
onde p é a distância do vértice ao foco. Comparando com
bar y^2=4,bar x,
vemos que 4p=4, logo
p=1
Não precisamos de nenhuma translação adicional porque o vértice já está em (0,0) no sistema (bar x,bar y).

Passo 3

Na forma padrão bar y^2=4p,bar x com p=1, concluímos:
– Vértice V em (0,0).
– Foco F em (p,0)=(1,0).

Passo 4

Identificamos também:
– Diretriz: a reta bar x=-p, ou seja,
bar x=-1
– Eixo da parábola: a reta que passa pelo vértice e pelo foco, isto é,
bar y=0

Passo 5

Outros elementos:
– Comprimento do parâmetro focal (latus rectum): 4p=4.
– Extremidades do parâmetro focal em (p,2p) e (p,-2p), ou seja, os pontos (1,2) e (1,-2).

Resposta

A forma padrão é
bar y^2=4,bar x,
com p=1.
Elementos principais:
Vértice V(0,0), foco F(1,0), diretriz bar x=-1, eixo bar y=0 e parâmetro focal de comprimento 4, cujas extremidades são (1,2) e (1,-2).

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