Por meio de uma translação escreva a equação da cônica na forma padrão e identifique seus elementos principais.
( a parábola
)
( a parábola
Passo 1
O enunciado dá a parábola em coordenadas transladadas
pela equação
O que ele pede é mostrar que, após a translação de eixos, essa é a forma padrão de uma parábola com vértice na origem dos eixos
e identificar seus elementos principais (vértice, foco, diretriz, eixo e comprimento do parâmetro focal).
Passo 2
Recordando a forma geral de uma parábola cujo eixo é paralelo ao eixo
, temos
onde
é a distância do vértice ao foco. Comparando com
vemos que
, logo
Não precisamos de nenhuma translação adicional porque o vértice já está em
no sistema
.
Passo 3
Na forma padrão
com
, concluímos:
– Vértice em
.
– Foco em
.
– Vértice
– Foco
Passo 4
Identificamos também:
– Diretriz: a reta , ou seja,
– Diretriz: a reta
– Eixo da parábola: a reta que passa pelo vértice e pelo foco, isto é,
Passo 5
Outros elementos:
– Comprimento do parâmetro focal (latus rectum): .
– Extremidades do parâmetro focal em e
, ou seja, os pontos
e
.
– Comprimento do parâmetro focal (latus rectum):
– Extremidades do parâmetro focal em
Resposta
A forma padrão é
com
.
Elementos principais:
Vértice , foco
, diretriz
, eixo
e parâmetro focal de comprimento
, cujas extremidades são
e
.
Elementos principais:
Vértice