Melhorando as hipóteses, escreva uma generalização para cada resultado abaixo. Procure dar a generalização mais abrangente possível.
(b) Existe um número inteiro entre -\pi e \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado dá a afirmação específica: existe um inteiro entre -\pi e \sqrt{2}.
O que se pede: melhorar as hipóteses e escrever uma generalização mais abrangente desse tipo de resultado (ou seja: encontrar uma condição geral, necessária e suficiente, que garanta a existência de um inteiro dentro de um intervalo real aberto).
Informações relevantes fornecidas:
  • Os extremos do intervalo são os números reais -\pi e \sqrt{2}.
  • O problema original afirma a existência de pelo menos um inteiro n\in\mathbb{Z} tal que -\pi < n < \sqrt{2}.

Passo 2

Antes de provar o caso específico, vamos recordar e definir duas ferramentas que vamos usar e que são fundamentais para raciocinar sobre inteiros dentro de intervalos reais.
Definições e propriedades úteis (explicadas devagar):
  • Para x\in\mathbb{R}, o piso (parte inteira) \lfloor x\rfloor é o maior inteiro menor ou igual a x. Ou seja, \lfloor x\rfloor\in\mathbb{Z} e \lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x\rfloor+1.
    • Exemplo concreto: \lfloor 2{,}7\rfloor = 2, porque 2\le 2{,}7 < 3. E \lfloor -1{,}3\rfloor = -2, porque -2 \le -1{,}3 < -1.
  • A propriedade arquimediana (no contexto que usamos) garante que, dado qualquer real x, existem inteiros maiores que x. Uma forma prática de obter o menor inteiro estritamente maior que x é \lfloor x\rfloor+1: sempre vale x < \lfloor x\rfloor+1 e \lfloor x\rfloor+1 é um inteiro.
Essas duas ideias juntas dizem: o menor inteiro estritamente maior que a é precisamente \lfloor a\rfloor+1. Portanto, para saber se existe algum inteiro no intervalo aberto (a,b) basta verificar se esse menor inteiro estritamente maior que a é também menor que b.

Passo 3

Aplicando a ideia anterior ao caso concreto -\pi < n < \sqrt{2}:
  • Calculo do piso de -\pi. Como -\pi \approx -3{,}1416, vale \lfloor -\pi\rfloor = -4, pois -4 \le -3{,}1416 < -3.
  • Então o menor inteiro estritamente maior que -\pi é \lfloor -\pi\rfloor+1 = -3.
  • Agora compara-se com \sqrt{2}. Como \sqrt{2}\approx 1{,}4142, temos -3 < \sqrt{2}.
  • Portanto -\pi < -3 < \sqrt{2}, logo existe (pelo menos) um inteiro no intervalo: por exemplo n=-3.
Isso resolve o caso específico e ilustra a regra geral: usamos \lfloor a\rfloor+1 como candidato natural.

Passo 4

Agora a generalização mais abrangente e a prova dela.
Proposição geral (forma natural, precisa e útil):
Sejam a,b\in\mathbb{R} com a<b. Então existe um inteiro n\in\mathbb{Z} tal que a < n < b se, e somente se,
\lfloor a\rfloor+1 < b.
Prova (passo a passo):
  • (Suficiência) Suponha que \lfloor a\rfloor+1 < b. Tome n=\lfloor a\rfloor+1. Por definição de piso, tem-se \lfloor a\rfloor \le a < \lfloor a\rfloor+1, logo a < n. Por hipótese n = \lfloor a\rfloor+1 < b. Assim a < n < b e n\in\mathbb{Z}. Portanto existe inteiro no intervalo.
  • (Necessidade) Suponha que existe n\in\mathbb{Z} com a < n < b. Pela desigualdade a < n e pela definição de piso, \lfloor a\rfloor é o maior inteiro \le a, portanto \lfloor a\rfloor \le n-1, isto é \lfloor a\rfloor+1 \le n. Juntando com n < b obtemos \lfloor a\rfloor+1 \le n < b, em particular \lfloor a\rfloor+1 < b. Assim a condição é necessária.
  • Conclusão: as duas implicações mostram que a condição é equivalente; ou seja, é condição necessária e suficiente.
Comentário pedagógico: essa formulação é bastante prática: para verificar rapidamente se há um inteiro estritamente entre a e b basta calcular \lfloor a\rfloor e ver se \lfloor a\rfloor+1 fica à esquerda de b. No caso especial em que a não é inteiro, \lfloor a\rfloor+1=\lceil a\rceil (o teto), mas quando a é inteiro isso diferencia: \lceil a\rceil = a enquanto \lfloor a\rfloor+1 = a+1; por isso a condição com piso é a forma correta e universal.

Passo 5

Alguns exemplos rápidos para fixar a intuição:
  • Se a=0 e b=1: \lfloor a\rfloor+1 = 1, e 1<1 é falso, logo não existe inteiro em (0,1) — coerente.
  • Se a=-0{,}5 e b=0{,}5: \lfloor a\rfloor=-1 então \lfloor a\rfloor+1=0 e 0<0{,}5 é verdadeiro; de fato 0 é inteiro entre a e b.
  • Para o nosso caso já visto, a=-\pi tem \lfloor a\rfloor=-4, \lfloor a\rfloor+1=-3 e -3<\sqrt{2}, logo existe inteiro no intervalo (por exemplo -3).
Força aí — essa é a condição prática e completa que você pode usar na prova: calcule \lfloor a\rfloor e cheque se \lfloor a\rfloor+1<b.

Resposta

Para a,b\in\mathbb{R} com a<b existe n\in\mathbb{Z} tal que a<n<b se, e somente se, \lfloor a\rfloor+1<b.\nEm particular, \lfloor -\pi\rfloor=-4 e -\pi< -3<\sqrt{2}, logo existe inteiro entre -\pi e \sqrt{2}.

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