Melhorando as hipóteses, escreva uma generalização para cada resultado abaixo. Procure dar a generalização mais abrangente possível.
(b) Existe um número inteiro entre
e
.
(b) Existe um número inteiro entre
Passo 1
O enunciado dá a afirmação específica: existe um inteiro entre
e
.
O que se pede: melhorar as hipóteses e escrever uma generalização mais abrangente desse tipo de resultado (ou seja: encontrar uma condição geral, necessária e suficiente, que garanta a existência de um inteiro dentro de um intervalo real aberto).
O que se pede: melhorar as hipóteses e escrever uma generalização mais abrangente desse tipo de resultado (ou seja: encontrar uma condição geral, necessária e suficiente, que garanta a existência de um inteiro dentro de um intervalo real aberto).
Informações relevantes fornecidas:
- Os extremos do intervalo são os números reais
e . - O problema original afirma a existência de pelo menos um inteiro
tal que .
Passo 2
Antes de provar o caso específico, vamos recordar e definir duas ferramentas que vamos usar e que são fundamentais para raciocinar sobre inteiros dentro de intervalos reais.
Definições e propriedades úteis (explicadas devagar):
- Para
, o piso (parte inteira) é o maior inteiro menor ou igual a . Ou seja, e . - Exemplo concreto:
, porque . E , porque .
- Exemplo concreto:
- A propriedade arquimediana (no contexto que usamos) garante que, dado qualquer real
, existem inteiros maiores que . Uma forma prática de obter o menor inteiro estritamente maior que é : sempre vale e é um inteiro.
Essas duas ideias juntas dizem: o menor inteiro estritamente maior que
é precisamente
. Portanto, para saber se existe algum inteiro no intervalo aberto
basta verificar se esse menor inteiro estritamente maior que
é também menor que
.
Passo 3
Aplicando a ideia anterior ao caso concreto
:
- Calculo do piso de
. Como , vale , pois . - Então o menor inteiro estritamente maior que
é . - Agora compara-se com
. Como , temos . - Portanto
, logo existe (pelo menos) um inteiro no intervalo: por exemplo .
Isso resolve o caso específico e ilustra a regra geral: usamos
como candidato natural.
Passo 4
Agora a generalização mais abrangente e a prova dela.
Proposição geral (forma natural, precisa e útil):
Sejam com
. Então existe um inteiro
tal que
se, e somente se,
Sejam
Prova (passo a passo):
- (Suficiência) Suponha que
. Tome . Por definição de piso, tem-se , logo . Por hipótese . Assim e . Portanto existe inteiro no intervalo. - (Necessidade) Suponha que existe
com . Pela desigualdade e pela definição de piso, é o maior inteiro , portanto , isto é . Juntando com obtemos , em particular . Assim a condição é necessária. - Conclusão: as duas implicações mostram que a condição é equivalente; ou seja, é condição necessária e suficiente.
Comentário pedagógico: essa formulação é bastante prática: para verificar rapidamente se há um inteiro estritamente entre
e
basta calcular
e ver se
fica à esquerda de
. No caso especial em que
não é inteiro,
(o teto), mas quando
é inteiro isso diferencia:
enquanto
; por isso a condição com piso é a forma correta e universal.
Passo 5
Alguns exemplos rápidos para fixar a intuição:
- Se
e : , e é falso, logo não existe inteiro em — coerente. - Se
e : então e é verdadeiro; de fato é inteiro entre e . - Para o nosso caso já visto,
tem , e , logo existe inteiro no intervalo (por exemplo ).
Força aí — essa é a condição prática e completa que você pode usar na prova: calcule
e cheque se
.
Resposta
Para
com
existe
tal que
se, e somente se,
.\nEm particular,
e
, logo existe inteiro entre
e
.