Melhorando as hipóteses, escreva uma generalização para cada resultado abaixo. Procure dar a generalização mais abrangente possível.
(a) Todo número terminado em 4 ou 16 é divisível por 2 .
(a) Todo número terminado em 4 ou 16 é divisível por 2 .
Passo 1
O enunciado dá o exemplo: “Todo número terminado em 4 ou 16 é divisível por 2.”
O que se pede: melhorar as hipóteses — isto é, encontrar uma versão mais geral e mais abrangente dessa afirmação, preservando a conclusão (divisibilidade por 2). Vou listar claramente o que temos de informação:
O que se pede: melhorar as hipóteses — isto é, encontrar uma versão mais geral e mais abrangente dessa afirmação, preservando a conclusão (divisibilidade por 2). Vou listar claramente o que temos de informação:
- “Terminado em 4” significa: o último algarismo decimal é
. - “Terminado em 16” significa: os dois últimos algarismos decimais são
e (ou seja, os dois últimos dígitos formam ).
A pergunta implícita é: qual hipótese mais ampla garante que um número seja divisível por?
Passo 2
Vamos entender por que os exemplos dados funcionam. Para um inteiro escrito em base decimal, podemos escrever
onde
é um inteiro (os demais dígitos) e
é o último dígito decimal, com
.
Explicando devagar: isso vem da representação posicional: por exemplo, o número é
, então aí
e
.
Explicando devagar: isso vem da representação posicional: por exemplo, o número
Passo 3
Agora, propriedade chave:
é múltiplo de
para todo inteiro
, porque
é par e
. Portanto a paridade de
(se é par ou ímpar) depende só do último dígito
:
Isto significa:
é divisível por
se, e somente se,
for divisível por
(i.e.,
é par). Assim, os exemplos do enunciado são casos particulares porque
é par e, no caso de "terminado em
", o último dígito também é
, que é par.
Passo 4
Da observação anterior já obtemos uma generalização natural e direta em base decimal: qualquer inteiro cujo último algarismo decimal é par é divisível por
. Em termos práticos: se um número termina em
ou
, então ele é divisível por
.
Vou provar explicitamente (passo a passo, didático):
- Suponha que o número
termina no dígito . Escreva . - Como
é múltiplo de e é múltiplo de , a soma também é múltiplo de . - Logo
é divisível por .
Conversamente, se
é divisível por
, escrevendo
obtemos
também múltiplo de
, portanto
é um dos dígitos
. Assim a condição é necessária e suficiente.
Passo 5
Podemos ainda enunciar uma generalização mais abrangente, usando a linguagem de base posicional e congruências, que explica por que isso depende da base usada:
- Em uma base
qualquer, um inteiro pode ser escrito como , com o último dígito em base . Reduzindo módulo obtemos
Se a base
for par (como
), então
é sempre múltiplo de
e daí
. Assim, em qualquer base par, um inteiro é divisível por
se, e somente se, seu último dígito nessa base for par.
Se a base for ímpar, essa afirmação deixa de ser válida (o termo
não é necessariamente múltiplo de
), então a última casa sozinha não determina a divisibilidade por
.
Se a base
Passo 6
Resumo prático para a prova (fórmula curta e útil que dá coragem): em base
,
Isto engloba imediatamente os casos "terminado em
" e "terminado em
" (porque nesses casos o último dígito é
ou
, ambos pares).
Resposta
Todo inteiro cujo último algarismo decimal é par (ou seja, termina em
ou
) é divisível por
.
Mais geral: em qualquer base
par, um inteiro é divisível por
se, e somente se, o seu último dígito na base
for par.