Melhorando as hipóteses, escreva uma generalização para cada resultado abaixo. Procure dar a generalização mais abrangente possível.
(a) Todo número terminado em 4 ou 16 é divisível por 2 .

Passo 1

O enunciado dá o exemplo: “Todo número terminado em 4 ou 16 é divisível por 2.”
O que se pede: melhorar as hipóteses — isto é, encontrar uma versão mais geral e mais abrangente dessa afirmação, preservando a conclusão (divisibilidade por 2). Vou listar claramente o que temos de informação:
  • “Terminado em 4” significa: o último algarismo decimal é 4.
  • “Terminado em 16” significa: os dois últimos algarismos decimais são 1 e 6 (ou seja, os dois últimos dígitos formam 16).
    A pergunta implícita é: qual hipótese mais ampla garante que um número seja divisível por 2?

Passo 2

Vamos entender por que os exemplos dados funcionam. Para um inteiro escrito em base decimal, podemos escrever
N = 10k + d,
onde k é um inteiro (os demais dígitos) e d é o último dígito decimal, com d\in\{0,1,2,\dots,9\}.
Explicando devagar: isso vem da representação posicional: por exemplo, o número 314 é 10\cdot31 + 4, então aí k=31 e d=4.

Passo 3

Agora, propriedade chave: 10k é múltiplo de 2 para todo inteiro k, porque 10 é par e 10k=2\cdot(5k). Portanto a paridade de N (se é par ou ímpar) depende só do último dígito d:
N \equiv d \pmod{2}.
Isto significa: N é divisível por 2 se, e somente se, d for divisível por 2 (i.e., d é par). Assim, os exemplos do enunciado são casos particulares porque d=4 é par e, no caso de "terminado em 16", o último dígito também é d=6, que é par.

Passo 4

Da observação anterior já obtemos uma generalização natural e direta em base decimal: qualquer inteiro cujo último algarismo decimal é par é divisível por 2. Em termos práticos: se um número termina em 0,2,4,6 ou 8, então ele é divisível por 2.
Vou provar explicitamente (passo a passo, didático):
  • Suponha que o número N termina no dígito d\in\{0,2,4,6,8\}. Escreva N=10k+d.
  • Como 10k é múltiplo de 2 e d é múltiplo de 2, a soma 10k+d também é múltiplo de 2.
  • Logo N é divisível por 2.
Conversamente, se N é divisível por 2, escrevendo N=10k+d obtemos d=N-10k também múltiplo de 2, portanto d é um dos dígitos 0,2,4,6,8. Assim a condição é necessária e suficiente.

Passo 5

Podemos ainda enunciar uma generalização mais abrangente, usando a linguagem de base posicional e congruências, que explica por que isso depende da base usada:
  • Em uma base b qualquer, um inteiro pode ser escrito como N=bk+d, com d o último dígito em base b. Reduzindo módulo 2 obtemos
N \equiv bk + d \pmod{2}.
Se a base b for par (como b=10), então bk é sempre múltiplo de 2 e daí N\equiv d\pmod{2}. Assim, em qualquer base par, um inteiro é divisível por 2 se, e somente se, seu último dígito nessa base for par.
Se a base b for ímpar, essa afirmação deixa de ser válida (o termo bk não é necessariamente múltiplo de 2), então a última casa sozinha não determina a divisibilidade por 2.

Passo 6

Resumo prático para a prova (fórmula curta e útil que dá coragem): em base 10,
N \text{ é par} \iff \text{último dígito de }N\in\{0,2,4,6,8\}.éúí
Isto engloba imediatamente os casos "terminado em 4" e "terminado em 16" (porque nesses casos o último dígito é 4 ou 6, ambos pares).

Resposta

Todo inteiro cujo último algarismo decimal é par (ou seja, termina em 0,2,4,6 ou 8) é divisível por 2.
Mais geral: em qualquer base b par, um inteiro é divisível por 2 se, e somente se, o seu último dígito na base b for par.

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