Melhorando as hipóteses, escreva uma generalização para cada resultado abaixo. Procure dar a generalização mais abrangente possível.
(c) Se um número é da forma
, então esse número é ímpar.
(c) Se um número é da forma
Passo 1
O enunciado original diz: “Se um número é da forma
, então esse número é ímpar.”
O pedido: melhorar as hipóteses e escrever uma generalização — a mais abrangente possível — desse resultado.
Informações relevantes dadas:
O pedido: melhorar as hipóteses e escrever uma generalização — a mais abrangente possível — desse resultado.
Informações relevantes dadas:
- A forma considerada é
. - A variável
está restrita a (naturais). - A conclusão é: o número é ímpar.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significa par e ímpar (isso é básico e crucial para a generalização).
- Um inteiro
é dito par se existir um inteiro tal que . - Um inteiro
é dito ímpar se existir um inteiro tal que .
Essas definições nos permitem reescrever afirmações sobre paridade de maneira algebraica e fazer provas diretas. Note que em ambas as definições o parâmetro livre (o
) pode ser qualquer inteiro; portanto não é preciso limitar
a
para usar essas definições — podemos permitir
.
Passo 3
Observação imediata sobre a hipótese
: não é necessária.
Se for um inteiro negativo, zero ou positivo, a forma
continua bem definida e a argumentação sobre paridade permanece. Logo podemos estender a hipótese para
. Isso já é uma primeira melhoria (hipótese mais fraca).
Se
Passo 4
Generalização natural em termos de substituir o
por outro inteiro: suponha
.
- Se
for ímpar, então para algum . - Então para qualquer
temos
o que, pela definição, mostra que
é ímpar.
Portanto: “Se
é um inteiro ímpar, então todo inteiro da forma
(com
) é ímpar.”
Isto já é mais amplo do que a versão com e
.
Isto já é mais amplo do que a versão com
Passo 5
Podemos enunciar uma versão ainda mais simples e conceitual (forma algébrica mínima):
- Se
é um inteiro par e é um inteiro ímpar, então é ímpar.
Justificação: escrevae ; então , que é ímpar.
No nosso casoe (ou qualquer ímpar), então obtemos o mesmo resultado.
Passo 6
Agora apresento a generalização mais abrangente e conceptual possível, usando congruências (que engloba o caso da paridade como caso
):
Para inteiros
e
, todo inteiro da forma
(com
) satisfaz
Isto é direto, pois
é múltiplo de
. Em particular, tomando
:
- Se
é ímpar, então é congruente a módulo , isto é, é ímpar.
Esse enunciado modular é o mais abrangente porque descreve exatamente qual o resto (classe de congruência) de números da formapara qualquer .
Passo 7
Exemplos para fixar a ideia:
- Caso original:
. Aqui e . Como , segue que , logo é ímpar. - Se tivéssemos
: , então e o número seria par. - Usando
: números da forma são todos congruentes a módulo .
Resposta
Para inteiros
e
, todo inteiro da forma
(com
) satisfaz
Em particular, para
e qualquer
ímpar, todo inteiro da forma
(com
) é ímpar.