Melhorando as hipóteses, escreva uma generalização para cada resultado abaixo. Procure dar a generalização mais abrangente possível.
(c) Se um número é da forma 2 n+7, n \in \mathbb{N}, então esse número é ímpar.

Passo 1

O enunciado original diz: “Se um número é da forma 2 n+7,\\ n\in\mathbb{N}, então esse número é ímpar.”
O pedido: melhorar as hipóteses e escrever uma generalização — a mais abrangente possível — desse resultado.
Informações relevantes dadas:
  • A forma considerada é 2n+7.
  • A variável n está restrita a \mathbb{N} (naturais).
  • A conclusão é: o número é ímpar.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa par e ímpar (isso é básico e crucial para a generalização).
  • Um inteiro x é dito par se existir um inteiro k tal que x=2k.
  • Um inteiro x é dito ímpar se existir um inteiro k tal que x=2k+1.
Essas definições nos permitem reescrever afirmações sobre paridade de maneira algebraica e fazer provas diretas. Note que em ambas as definições o parâmetro livre (o k) pode ser qualquer inteiro; portanto não é preciso limitar n a \mathbb{N} para usar essas definições — podemos permitir n\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Observação imediata sobre a hipótese n\in\mathbb{N}: não é necessária.
Se n for um inteiro negativo, zero ou positivo, a forma 2n+7 continua bem definida e a argumentação sobre paridade permanece. Logo podemos estender a hipótese para n\in\mathbb{Z}. Isso já é uma primeira melhoria (hipótese mais fraca).

Passo 4

Generalização natural em termos de substituir o 7 por outro inteiro: suponha a\in\mathbb{Z}.
  • Se a for ímpar, então a=2m+1 para algum m\in\mathbb{Z}.
  • Então para qualquer n\in\mathbb{Z} temos
2n+a=2n+(2m+1)=2(n+m)+1,
o que, pela definição, mostra que 2n+a é ímpar.
Portanto: “Se a é um inteiro ímpar, então todo inteiro da forma 2n+a (com n\in\mathbb{Z}) é ímpar.”
Isto já é mais amplo do que a versão com a=7 e n\in\mathbb{N}.

Passo 5

Podemos enunciar uma versão ainda mais simples e conceitual (forma algébrica mínima):
  • Se x é um inteiro par e y é um inteiro ímpar, então x+y é ímpar.
    Justificação: escreva x=2p e y=2q+1; então x+y=2(p+q)+1, que é ímpar.
    No nosso caso x=2n e y=7 (ou qualquer y ímpar), então obtemos o mesmo resultado.

Passo 6

Agora apresento a generalização mais abrangente e conceptual possível, usando congruências (que engloba o caso da paridade como caso m=2):
Para inteiros m\ge 1 e r\in\mathbb{Z}, todo inteiro da forma m n + r (com n\in\mathbb{Z}) satisfaz
m n + r \equiv r \pmod{m}.
Isto é direto, pois m n + r - r = m n é múltiplo de m. Em particular, tomando m=2:
  • Se r é ímpar, então m n + r = 2n + r é congruente a 1 módulo 2, isto é, é ímpar.
    Esse enunciado modular é o mais abrangente porque descreve exatamente qual o resto (classe de congruência) de números da forma m n + r para qualquer m.

Passo 7

Exemplos para fixar a ideia:
  • Caso original: 2n+7. Aqui m=2 e r=7. Como 7\equiv1\pmod2, segue que 2n+7\equiv1\pmod2, logo é ímpar.
  • Se tivéssemos 2n+8: 8\equiv0\pmod2, então 2n+8\equiv0\pmod2 e o número seria par.
  • Usando m=3: números da forma 3n+2 são todos congruentes a 2 módulo 3.

Resposta

Para inteiros m\ge 1 e r, todo inteiro da forma m n + r (com n\in\mathbb{Z}) satisfaz
m n + r \equiv r \pmod{m}.
Em particular, para m=2 e qualquer r ímpar, todo inteiro da forma 2n+r (com n\in\mathbb{Z}) é ímpar.

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