A membrana das células nervosas é responsável pela manutenção de um potencial de repouso da ordem de -70,0 \mathrm{mV}, com o interior da célula sendo mais negativo em relação ao meio extracelular. Isso ocorre, em grande parte, devido à ação da bomba de sódio e potássio ( \mathrm{Na}^{+} / \mathrm{K}^{+}-ATPase), que transporta ativamente 3 íons de sódio ( \mathrm{Na}^{+}) para fora da célula e 2 íons de potássio ( \mathrm{K}^{+}) para dentro da célula, contra seus respectivos gradientes eletroquímicos.
a) Suponha que a membrana tenha uma espessura de aproximadamente d= 5,0 \cdot 10^{-9} \mathrm{~m} e que a diferença de potencial mantida pela bomba seja \Delta V=-70 \mathrm{mV}\left(1,0 \mathrm{mV}=10^{-3} \mathrm{~V}\right). Calcule a intensidade (módulo) do campo elétrico médio E entre os dois lados da membrana.
b) Calcule o trabalho realizado pela bomba ao transportar um íon de sódio ( q=+e ) para fora da célula, contra o campo elétrico, em joules.

Passo 1

O enunciado diz que a membrana mantém uma diferença de potencial de \Delta V = -70{,}0\text{ mV} entre interior e exterior e tem espessura d = 5{,}0\times10^{-9}\text{ m}.
Conteúdo: eletrostática—relação entre campo elétrico e variação de potencial e cálculo de trabalho para carga num potencial.

Passo 2

O campo elétrico médio E numa região de espessura d com variação de potencial \Delta V satisfaz
E = \frac{|\Delta V|}{d}.
Substituindo |\Delta V| = 70\times10^{-3}\text{ V} e d = 5{,}0\times10^{-9}\text{ m},
E = \frac{70\times10^{-3}}{5{,}0\times10^{-9}} = 1{,}4\times10^{7}\text{ V/m}.

Passo 3

O trabalho W que a bomba faz para levar uma carga q contra o campo é
W = q\,\Delta V_{\text{(módulo)}}.ó
Como a bomba transporta um íon \mathrm{Na}^+ com carga q=+e=1{,}60\times10^{-19}\text{ C} através de |\Delta V|=70\times10^{-3}\text{ V},
W = (1{,}60\times10^{-19}\,\mathrm{C})\,(70\times10^{-3}\,\mathrm{V}) = 1{,}12\times10^{-20}\,\mathrm{J}.

Resposta

a) E = 1{,}4\times10^{7}\text{ V/m}
b) W = 1{,}12\times10^{-20}\text{ J}

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