Uma casca esférica não-condutora, com um raio interno de 2,0 \mathrm{~cm} \mathrm{e} \mathrm{um} \mathrm{raio} \mathrm{externo} de 4,0 \mathrm{~cm}, possui uma distribuição de cargas não-homogênea. A densidade volumétrica de carga \rho(r) é a carga por unidade de volume, medida em coulombs por metro cúbico. No caso dessa casca, \rho(r)=b / r, onde r é a distância em metros a partir do centro da casca e b=1,0 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}\left(1,0 \mu \mathrm{C}=10^{-6} \mathrm{C}\right). Qual é a carga total da casca? Qual o módulo do campo elétrico gerado pela esfera à uma distância r=10,0 \mathrm{~cm} do centro da casca?
\text { Considere: } \int_{a}^{b} r d r=\frac{r_{b}^{2}-r_{a}^{2}}{2}, d q=\rho(r) d V \text { e } V=\frac{4 \pi r^{3}}{3} .

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica não condutora com raio interno a=2{,}0\text{ cm}=0{,}02\text{ m} e raio externo R=4{,}0\text{ cm}=0{,}04\text{ m}. A densidade volumétrica de carga é
\rho(r)=\frac{b}{r},\quad b=1{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C/m^2}.
Precisamos (1) calcular a carga total
Q=\int_{V}\rho(r)\,dV
da casca e (2) usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico em r=10{,}0\text{ cm}=0{,}10\text{ m}.

Passo 2

Para achar a carga total, escrevemos
dQ=\rho(r)\,dV \quad\text{e}\quad dV=4\pi r^2\,dr.
Logo
Q=\int_{a}^{R}\frac{b}{r}\,4\pi r^2\,dr =4\pi b\int_{a}^{R}r\,dr =4\pi b\left[\frac{r^2}{2}\right]_{a}^{R} =2\pi b\bigl(R^2-a^2\bigr).

Passo 3

Substituindo a=0{,}02\text{ m}, R=0{,}04\text{ m} e b=1{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C/m^2}, temos
Q =2\pi\times(1{,}0\times10^{-6})\bigl(0{,}04^2-0{,}02^2\bigr) =2\pi\times10^{-6}\times(0{,}0016-0{,}0004) =2\pi\times10^{-6}\times0{,}0012 =2{,}4\pi\times10^{-9}\,\mathrm{C}.
Numericamente,
Q\approx2{,}4\pi\times10^{-9}\approx7{,}54\times10^{-9}\,\mathrm{C}.

Passo 4

Para r=0{,}10\text{ m}>R, toda a carga da casca está contida em uma superfície gaussiana de raio r. A Lei de Gauss diz
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =E\,(4\pi r^2) =\frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_0},
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E =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}.

Passo 5

Substituindo Q\approx7{,}54\times10^{-9}\,\mathrm{C}, \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m} e r=0{,}10\,\mathrm{m},
E =\frac{7{,}54\times10^{-9}}{4\pi\times8{,}85\times10^{-12}\times(0{,}10)^2} \approx6{,}8\times10^3\,\mathrm{N/C}.

Resposta

A carga total da casca é
Q\approx7{,}54\times10^{-9}\,\mathrm{C},
e o módulo do campo elétrico a r=10{,}0\text{ cm} é
E\approx6{,}8\times10^3\,\mathrm{N/C}.

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