Seja
. Demonstre que (
) é um grupo não abeliano.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que é um grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos) e que não é comutativo.
e pede para mostrar que
Passo 2
Fechamento: sejam
com
e
. Então
Como
, temos
. Logo
é fechado sob composição.
Passo 3
Associatividade: a composição de funções é sempre associativa, isto é, para quaisquer
vale
Passo 4
Elemento neutro: a função identidade
pertence a
pois o coeficiente de
é
. E para todo
temos
e
.
Passo 5
Inversos: dado
com
, queremos
tal que
. Resolvendo
Assim
e
garante
.
Passo 6
Não comutatividade: tome por exemplo
Então
e claramente
. Logo
não é abeliano.