Seja \mathcal{F}=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f(x)=a x+b ; a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0\}. Demonstre que ( \mathcal{F}, \circ ) é um grupo não abeliano.

Passo 1

O enunciado define \mathcal{F}=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f(x)=a x+b,\;a,b\in\mathbb{R},\,a\neq0\}
e pede para mostrar que (\mathcal{F},\circ) é um grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos) e que não é comutativo.

Passo 2

Fechamento: sejam
f(x)=a x+b,\quad g(x)=c x+d
com a\neq0 e c\neq0. Então
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=a\,(c x+d)+b=(a\,c)x+(a\,d+b).
Como a\,c\neq0, temos f\circ g\in\mathcal{F}. Logo \mathcal{F} é fechado sob composição.

Passo 3

Associatividade: a composição de funções é sempre associativa, isto é, para quaisquer f,g,h\in\mathcal{F} vale
f\circ (g\circ h) = (f\circ g)\circ h.

Passo 4

Elemento neutro: a função identidade
\mathrm{id}(x)=1\cdot x+0
pertence a \mathcal{F} pois o coeficiente de x é 1\neq0. E para todo f\in\mathcal{F} temos \mathrm{id}\circ f = f e f\circ\mathrm{id}=f.

Passo 5

Inversos: dado f(x)=a x+b com a\neq0, queremos f^{-1} tal que f\circ f^{-1}=\mathrm{id}. Resolvendo
y = a x + b \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{y - b}{a} = \frac1a\,y - \frac b a.
Assim
f^{-1}(x)=\frac1a\,x - \frac b a,
e \tfrac1a\neq0 garante f^{-1}\in\mathcal{F}.

Passo 6

Não comutatividade: tome por exemplo
f(x)=2x,\quad g(x)=x+3.
Então
(f\circ g)(x)=2(x+3)=2x+6, \quad (g\circ f)(x)=(2x)+3=2x+3,
e claramente f\circ g\neq g\circ f. Logo (\mathcal{F},\circ) não é abeliano.

Resposta

(\mathcal{F},\circ) é um grupo não abeliano.

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