Uma membrana mosaico é feita de dois tipos de membrana. A membrana tipo X é semipermeável e permite a água w permear mas não permite o soluto s. O coeficiente de filtração mecânica da membrana tipo X é LX. A membrana tipo Y não pode distinguir água de soluto e tem um coeficiente de filtração mecânica LY e uma permeabilidade PY (a permeabilidade P é definida como P=omega R T ). Estes dois tipos de membranas são utilizados para fazer o mosaico de membrana, cuja a área de superfície consiste de 50 % de membrana tipo X e 50 % de membrana tipo Y.
(a) Mostre que o fluxo de volume Jv através do mosaico de membrana pode ser escrito como
Jv=Lm(De
onde De e De. Os índices referem-se aos lados 1 e 2 da membrana. Sendo Jv o fluxo de volume do lado 1 para o lado 2, encontre os parâmetros Lm e sigmam em termos de LX e LY.
(b) Mostre que o fluxo de troca Jd pode ser escrito como
Jd=cs(1-sigmam) Jv+Pm De
quando sigmam approx 1. Encontre Pm em termos de PY.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e qual conteúdo a gente vai usar.
Enunciado resumido: temos uma “mosaico” de membranas, metade é tipo X (semipermeável à água, rejeita soluto) e metade é tipo Y (não diferencia água de soluto). Cada uma obedece à equação de Kedem–Katchalsky para fluxo de volume e de soluto:
  • Para X: Jv = Lml(De, com Jd = csl(1-sigmamr),Jv + Pm,De.
  • Para Y: , com , e ainda tem permeabilidade de soluto .
O que a gente quer mostrar:
(a) que o fluxo total de volume do mosaico é
e achar e em função de .
(b) que o fluxo de soluto fica
quando , e encontrar em função de .
Matéria envolvida: osmose, coeficientes fenomênicos de Kedem–Katchalsky e combinação de membranas em paralelo (áreas proporcionais).

Passo 2

Vamos achar Jv = tfrac12,Jv,X + tfrac12,Jv,Y do mosaico. A ideia é simples: como metade da área é X e metade é Y, o fluxo total é média ponderada:
Jv,X = LXl(De
Substituindo:
Jv = tfrac12,LX(De
Logo

Passo 3

Agora a gente quer escrever isso como
Jv = Lml(De
Vamos reorganizar a expressão do passo 2:
Jv = l(tfrac12LX + tfrac12LYr)De
Comparando com Lm = tfrac12l(LX + LYr), Lm,sigmam = tfrac12,LX ;;Longrightarrow;; sigmam = tfrac12LXtfrac12(LX+LY) = LXLX+LY , vemos que

Passo 4

Parte (b): agora o fluxo de soluto total Jd = tfrac12,Jd,X + tfrac12,Jd,Y . De novo, média ponderada:
Jd,i = (1-sigmai),cs,Jv,i + Pi,De
Para cada membrana, a equação de K–K é
Jd,Y = cs,Jv,Y + PY,De
Em X temos Jd = tfrac12l(cs,Jv,Y + PY,De e , logo .
Em Y temos e dado, então
Assim

Passo 5

A gente quer mostrar que, para Jd = cs,(1-sigmam),Jv + Pm,De,
Jv = tfrac12LX(De
Já vimos que cs,(1-sigmam),Jv = tfracLYLX+LY,cs,Jv = tfrac12,cs,LY(De. E sabemos que
Pm,De
Se você refizer a conta, verá que
Jd = cs,(1-sigmam),Jv + l(tfrac12PYr)De
e o termo de difusão fica
pois só a metade da área (tipo Y) tem permeabilidade .
Então

Resposta

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