Um menino atira uma bola diretamente para cima a partir do topo de uma torre de 12 m de altura. Se a bola passa de volta por ele
depois, determine a velocidade em que ela foi lançada, a velocidade da bola quando ela atinge o solo e o tempo de voo.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um menino que joga uma bola para cima a partir do topo de uma torre de 12 metros de altura. Após
, a bola passa de volta por ele. Precisamos encontrar três coisas:
- A velocidade inicial com que a bola foi lançada.
- A velocidade da bola quando ela atinge o solo.
- O tempo total que a bola leva para ir do lançamento até atingir o solo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações de movimento uniformemente acelerado, considerando a aceleração da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o movimento da bola até passar de volta pelo ponto de lançamento (
após o lançamento).
Vamos considerar:
- Ponto de Partida (Lançamento): Altura
. - Velocidade Inicial:
(que queremos encontrar). - Aceleração da Gravidade:
(para baixo, então consideramos negativa na direção do movimento para cima).
Quando a bola passa de volta pelo ponto de lançamento, ela retorna à mesma altura de onde foi lançada após
. Podemos usar a seguinte equação de movimento:
Como
nesse ponto, temos:
Passo 3
Vamos resolver a equação para encontrar
.
Podemos fatorar
:
Como
(não consideramos o instante do lançamento), então:
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora, vamos determinar o tempo total de voo até a bola atingir o solo. Para isso, precisamos considerar a altura da torre.
Usando a mesma equação de movimento:
Desta vez,
(solo) e
:
Simplificando:
Esta é uma equação quadrática na forma
onde:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante (
):
Agora, substituindo na fórmula:
Considerando apenas a solução positiva para o tempo:
Portanto, o tempo total de voo é aproximadamente
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a velocidade da bola quando ela atinge o solo. Usaremos a equação da velocidade em função do tempo:
Substituindo
,
e
:
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo.
Resposta
- Velocidade inicial de lançamento:
- Velocidade ao atingir o solo:
- Tempo total de voo: