Um menino atira uma bola diretamente para cima a partir do topo de uma torre de 12 m de altura. Se a bola passa de volta por ele 0,75 s depois, determine a velocidade em que ela foi lançada, a velocidade da bola quando ela atinge o solo e o tempo de voo.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um menino que joga uma bola para cima a partir do topo de uma torre de 12 metros de altura. Após 0,75 s, a bola passa de volta por ele. Precisamos encontrar três coisas:
  1. A velocidade inicial com que a bola foi lançada.
  2. A velocidade da bola quando ela atinge o solo.
  3. O tempo total que a bola leva para ir do lançamento até atingir o solo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações de movimento uniformemente acelerado, considerando a aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o movimento da bola até passar de volta pelo ponto de lançamento ( 0,75 s após o lançamento).
Vamos considerar:
  • Ponto de Partida (Lançamento): Altura h = 12 , m.
  • Velocidade Inicial: v0 (que queremos encontrar).
  • Aceleração da Gravidade: g = 9,8 , m/s^2 (para baixo, então consideramos negativa na direção do movimento para cima).
Quando a bola passa de volta pelo ponto de lançamento, ela retorna à mesma altura de onde foi lançada após 0,75 s. Podemos usar a seguinte equação de movimento:
y = y0 + v0 t - 12 g t^2
Como y = y0 nesse ponto, temos:
0 = v0 t - 12 g t^2

Passo 3

Vamos resolver a equação para encontrar v0.
0 = v0 t - 12 g t^2
Podemos fatorar t:
t (v0 - 12 g t) = 0
Como t neq 0 (não consideramos o instante do lançamento), então:
v0 - 12 g t = 0 implies v0 = 12 g t
Substituindo g = 9,8 , m/s^2 e t = 0,75 , s:
v0 = 12 times 9,8 times 0,75 = 3,675 , m/s

Passo 4

Agora, vamos determinar o tempo total de voo até a bola atingir o solo. Para isso, precisamos considerar a altura da torre.
Usando a mesma equação de movimento:
y = y0 + v0 t - 12 g t^2
Desta vez, y = 0 (solo) e y0 = 12 , m:
0 = 12 + 3,675 t - 12 times 9,8 times t^2
Simplificando:
0 = 12 + 3,675 t - 4,9 t^2
Esta é uma equação quadrática na forma a t^2 + b t + c = 0 onde:
  • a = -4,9
  • b = 3,675
  • c = 12
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Calculando o discriminante ( De):
De
De
Agora, substituindo na fórmula:
t = -3,675 pm raiz248,706252 times (-4,9)
raiz248,70625 approx 15,77
t = -3,675 pm 15,77-9,8
Considerando apenas a solução positiva para o tempo:
t = -3,675 + 15,77-9,8 = 12,095-9,8 approx -1,234 , s (Descartamos)
t = -3,675 - 15,77-9,8 = -19,445-9,8 approx 1,985 , s
Portanto, o tempo total de voo é aproximadamente 1,985 , s.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade da bola quando ela atinge o solo. Usaremos a equação da velocidade em função do tempo:
v = v0 - g t
Substituindo v0 = 3,675 , m/s, g = 9,8 , m/s^2 e t = 1,985 , s:
v = 3,675 - 9,8 times 1,985 = 3,675 - 19,453 = -15,778 , m/s
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo.

Resposta

  • Velocidade inicial de lançamento: 3,675 , m/s
  • Velocidade ao atingir o solo: -15,78 , m/s
  • Tempo total de voo: 1,985 , s

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