Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta com velocidade inicial de 6 m / s quando está sujeita a uma desaceleração de a=(-1,5 v^1 / 2) m / s^2, em que v está em m / s. Determine que distância ela percorre antes de parar. Quanto tempo isso leva?

Passo 1

Vamos resolver este exercício que envolve movimento retilíneo com desaceleração. A questão pede para calcular a distância que a partícula percorre até parar e o tempo que isso leva. Para resolver, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento com aceleração variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre velocidade e aceleração. A desaceleração está dada por $ a = -1,5 \sqrt{v} $, onde $ v $ é a velocidade da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, $ a = \frac{dv}{dt} $.

Passo 3

Vamos igualar as duas expressões para a aceleração:
dvdt = -1,5 raizv
Agora, vamos separar as variáveis para facilitar a integração:
dvraizv = -1,5 , dt

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados. Para a integral do lado esquerdo:
integral dvraizv = 2 raizv + C
E para o lado direito:
integral -1,5 , dt = -1,5 t + C
Ignoramos a constante de integração porque vamos considerar as condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais: quando $ t = 0 $, $ v = 6 $ m/s. Então:
t = 0
A equação fica:
v = 6

Passo 6

Queremos encontrar o tempo $ T $ quando a velocidade $ v = 0 $:
T
v = 0
2 raiz0 = -1,5 T + 2 raiz6
0 = -1,5 T + 2 raiz6

Passo 7

Agora, vamos calcular a distância percorrida. Sabemos que $ v = \sqrt{6} - \frac{1,5}{2} t $. Mas é mais fácil integrar a velocidade em termos do tempo.
A velocidade $ v(t) = \sqrt{v} $, então:
v = raiz6 - 1,52 t
Entretanto, uma abordagem mais simples é utilizar:
v(t) = raizv
Então, a distância $ x $ é:
v = ( -1,52 t + raiz6 )^2

Passo 8

Usando a equação que já temos para $ v $:
v
Isolamos $ v $:
2 raizv = -1,5 t + 2 raiz6
v

Passo 9

Agora, integramos a velocidade para encontrar a distância:
x = integral0^4 raiz63 ( -34 t + raiz6 )^2 dt
Expandindo o quadrado:
x = integral0^4 raiz63 ( 916 t^2 - 3 raiz62 t + 6 ) dt

Passo 10

Integrando termo a termo:
x = [ 948 t^3 - 3 raiz64 t^2 + 6 t ]0^4 raiz63
Calculamos cada termo substituindo $ t = \frac{4 \sqrt{6}}{3} $.

Passo 11

Após os cálculos, a distância percorrida é:
x = 8 raiz6 , metros

Resposta

A partícula percorre uma distância de $ 8 \sqrt{6} $ metros e leva $ \frac{4 \sqrt{6}}{3} $ segundos para parar.

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