Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta com velocidade inicial de
quando está sujeita a uma desaceleração de
, em que
está em
. Determine que distância ela percorre antes de parar. Quanto tempo isso leva?
Passo 1
Vamos resolver este exercício que envolve movimento retilíneo com desaceleração. A questão pede para calcular a distância que a partícula percorre até parar e o tempo que isso leva. Para resolver, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento com aceleração variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre velocidade e aceleração. A desaceleração está dada por $ a = -1,5 \sqrt{v} $, onde $ v $ é a velocidade da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, $ a = \frac{dv}{dt} $.
Passo 3
Vamos igualar as duas expressões para a aceleração:
Agora, vamos separar as variáveis para facilitar a integração:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados. Para a integral do lado esquerdo:
E para o lado direito:
Ignoramos a constante de integração porque vamos considerar as condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais: quando $ t = 0 $, $ v = 6 $ m/s. Então:
A equação fica:
Passo 6
Queremos encontrar o tempo $ T $ quando a velocidade $ v = 0 $:
Passo 7
Agora, vamos calcular a distância percorrida. Sabemos que $ v = \sqrt{6} - \frac{1,5}{2} t $. Mas é mais fácil integrar a velocidade em termos do tempo.
A velocidade $ v(t) = \sqrt{v} $, então:
Entretanto, uma abordagem mais simples é utilizar:
Então, a distância $ x $ é:
Passo 8
Usando a equação que já temos para $ v $:
Isolamos $ v $:
Passo 9
Agora, integramos a velocidade para encontrar a distância:
Expandindo o quadrado:
Passo 10
Integrando termo a termo:
Calculamos cada termo substituindo $ t = \frac{4 \sqrt{6}}{3} $.
Passo 11
Após os cálculos, a distância percorrida é:
Resposta
A partícula percorre uma distância de $ 8 \sqrt{6} $ metros e leva $ \frac{4 \sqrt{6}}{3} $ segundos para parar.