Um menino faz girar acima de sua cabeça uma pedra amarrada na ponta de um barbante, segurando na outra extremidade do mesmo. Considere que o plano do círculo formado pela trajetória da pedra seja horizontal e que o ângulo formado entre o barbante e o plano da trajetória seja igual a theta. Sabendo-se que a massa da pedra é m e que o raio da órbita é r, determine: (a) o módulo da força centrípeta Fc responsável pelo movimento circular; (b) a velocidade escalar v da pedra; (c) o tempo t necessário para a pedra completar uma volta.

Passo 1

O problema descreve uma massa m presa a um barbante, girando em círculo horizontal de raio r, com o barbante fazendo um ângulo theta acima do plano horizontal. Precisamos aplicar:
  • equilíbrio de forças na vertical (pois não há movimento vertical),
  • força centrípeta na horizontal para movimento circular de raio r.

Passo 2

Desenhe o diagrama de corpo livre da pedra. A tensão T no barbante tem:
  • componente vertical para cima Tsintheta,
  • componente horizontal Tcostheta.
    Como a pedra não sobe nem desce, a soma das forças verticais é zero:
Tsintheta = mg
Isolando T:
T = mgsintheta

Passo 3

A força centrípeta Fc é fornecida pela componente horizontal da tensão:
Fc = Tcostheta
Substituindo T:
Fc = mgsinthetacostheta = mgcottheta

Passo 4

Para achar a velocidade escalar v, usamos Fc = mv^2r. Assim,
mv^2r = mgcottheta Longrightarrow v^2 = r gcottheta Longrightarrow v = raizr gcottheta

Passo 5

O tempo t para uma volta (período) é a circunferência sobre a velocidade:
t = 2pi rv = 2pi rraizr gcottheta = 2piraizrgcottheta = 2piraizrtanthetag

Resposta

(a) Fc = mgcottheta
(b) v = raizr gcottheta
(c) t = 2piraizrtanthetag

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