Um menino faz girar uma pedra num círculo horizontal a 1,25 \mathrm{~m} do solo por meio de um barbante de 1,0 \mathrm{~m} de comprimento. O barbante arrebenta e a pedra é então lançada horizontalmente, colidindo com o chão a 10 m de distância do ponto onde o barbante arrebentou. Determine:
(a) o tempo que a pedra leva para atingir o solo;
(b) a aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular;
(c) o vetor velocidade da pedra ao atingir o solo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Altura do plano da pedra acima do solo: h=1,25\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento do barbante (raio do movimento circular): r=1,0\\ \mathrm{m}.
    • Ao arrebentar, a pedra é lançada horizontalmente e atinge o solo a uma distância horizontal de x=10\\ \mathrm{m} do ponto do arrebentamento.
    • Usarei a aceleração da gravidade \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
  • O que é pedido:
    (a) o tempo que a pedra leva para atingir o solo;
    (b) a aceleração centrípeta que a pedra tinha enquanto girava;
    (c) o vetor velocidade da pedra ao atingir o solo (componentes, magnitude e direção).

Passo 2

Entendendo o movimento vertical após o arrebentamento (projeção horizontal):
  • Quando o barbante arrebenta, a componente vertical da velocidade inicial é zero porque o lançamento é horizontal. Ou seja, v_{y0}=0.
  • A equação do deslocamento vertical (tomando para baixo deslocamento positivo) é
h=\tfrac{1}{2} g t^{2},
onde:
  • h é a altura inicial ( 1,25\\ \mathrm{m}),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}),
  • t é o tempo de queda que queremos achar.
  • Essa fórmula vem da equação do movimento uniformemente acelerado com velocidade inicial nula na direção vertical:
y(t)=y_0+v_{y0}t-\tfrac{1}{2}gt^{2}.
Tomando y_0=h, v_{y0}=0 e y=0 ao atingir o solo, chega-se a \,h=\tfrac{1}{2}gt^{2}\,.

Passo 3

Calcular o tempo t substituindo na fórmula:
t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
Substituindo h=1,25 e g=9,8:
t=\sqrt{\dfrac{2\cdot 1,25}{9,8}}=\sqrt{\dfrac{2,5}{9,8}}\approx\sqrt{0,255102}\approx 0,505\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo de queda é t\approx 0,505\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Agora usamos o movimento horizontal (sem aceleração horizontal) para obter a velocidade horizontal inicial v no instante do arrebentamento:
  • A distância horizontal percorrida é x=v\,t, onde v é a velocidade horizontal constante (igual à velocidade tangencial durante o movimento circular).
  • Assim:
v=\dfrac{x}{t}=\dfrac{10}{0,505}\\ \mathrm{m/s}\approx 19,8\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei: este v é a velocidade tangencial que a pedra tinha enquanto girava (e que permanece constante na horizontal após o arrebentamento, na ausência de resistência do ar).

Passo 5

Centripetalidade: definição e fórmula que vamos usar.
  • Em movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta aponta para o centro e tem magnitude
a_{c}=\dfrac{v^{2}}{r},
onde:
  • v é a velocidade tangencial,
  • r é o raio da trajetória circular.
  • Já temos v\approx 19,8\\ \mathrm{m/s} e r=1,0\\ \mathrm{m}, então substituímos na fórmula.

Passo 6

Calcular a aceleração centrípeta:
a_{c}=\dfrac{(19,8)^{2}}{1,0}\\ \mathrm{m/s^{2}}=392\\ \mathrm{m/s^{2}}\\ (\text{aprox.}).
Observação intuitiva: essa aceleração é muito maior que g (cerca de 40 vezes), o que indica que a pedra estava sujeita a uma força centrípeta grande enquanto girava.

Passo 7

Agora determinamos o vetor velocidade ao atingir o solo (componentes, magnitude e direção).
  • Componente horizontal: permanece igual à velocidade tangencial obtida,
v_{x}=v\approx 19,8\\ \mathrm{m/s}.
  • Componente vertical ao atingir o solo (velocidade adquirida pela queda):
v_{y}= - g t = -9,8\cdot 0,505\\ \mathrm{m/s}\approx -4,95\\ \mathrm{m/s},
onde o sinal negativo indica direção para baixo.
  • Assim o vetor velocidade em componentes (sistema com x horizontal para frente e y para cima) é
\vec{v}=(19,8\,\hat{\mathbf{i}} - 4,95\,\hat{\mathbf{j}})\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Magnitude e direção do vetor velocidade:
  • Magnitude:
|\vec{v}|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{(19,8)^{2}+(-4,95)^{2}}\approx 20,4\\ \mathrm{m/s}.
  • Direção (ângulo abaixo da horizontal):
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{|v_{y}|}{v_{x}}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{4,95}{19,8}\right)\approx 14,0^\circ.
Interpretação: ao atingir o solo, a pedra tem velocidade de aproximadamente 20,4\\ \mathrm{m/s}, dirigindo-se 14,0^\circ abaixo da horizontal.

Resposta

(a) t=0,505\\ \mathrm{s}
(b) a_{c}=392\\ \mathrm{m/s^{2}}
(c) \vec{v}=(19,8\,\hat{\mathbf{i}} - 4,95\,\hat{\mathbf{j}})\\ \mathrm{m/s} (magnitude |\vec{v}|\approx20,4\\ \mathrm{m/s}, direção \approx14,0^\circ abaixo da horizontal)

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