Um menino faz girar uma pedra num círculo horizontal a
do solo por meio de um barbante de
de comprimento. O barbante arrebenta e a pedra é então lançada horizontalmente, colidindo com o chão a 10 m de distância do ponto onde o barbante arrebentou. Determine:
(a) o tempo que a pedra leva para atingir o solo;
(b) a aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular;
(c) o vetor velocidade da pedra ao atingir o solo.
(a) o tempo que a pedra leva para atingir o solo;
(b) a aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular;
(c) o vetor velocidade da pedra ao atingir o solo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
-
Dados fornecidos:
- Altura do plano da pedra acima do solo:
. - Comprimento do barbante (raio do movimento circular):
. - Ao arrebentar, a pedra é lançada horizontalmente e atinge o solo a uma distância horizontal de
do ponto do arrebentamento. - Usarei a aceleração da gravidade
.
- Altura do plano da pedra acima do solo:
-
O que é pedido:
(a) o tempo que a pedra leva para atingir o solo;
(b) a aceleração centrípeta que a pedra tinha enquanto girava;
(c) o vetor velocidade da pedra ao atingir o solo (componentes, magnitude e direção).
Passo 2
Entendendo o movimento vertical após o arrebentamento (projeção horizontal):
- Quando o barbante arrebenta, a componente vertical da velocidade inicial é zero porque o lançamento é horizontal. Ou seja,
. - A equação do deslocamento vertical (tomando para baixo deslocamento positivo) é
onde:
-
é a altura inicial ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é o tempo de queda que queremos achar. - Essa fórmula vem da equação do movimento uniformemente acelerado com velocidade inicial nula na direção vertical:
Tomando
,
e
ao atingir o solo, chega-se a
.
Passo 3
Calcular o tempo
substituindo na fórmula:
Substituindo
e
:
Portanto o tempo de queda é
.
Passo 4
Agora usamos o movimento horizontal (sem aceleração horizontal) para obter a velocidade horizontal inicial
no instante do arrebentamento:
- A distância horizontal percorrida é
, onde é a velocidade horizontal constante (igual à velocidade tangencial durante o movimento circular). - Assim:
Expliquei: este
é a velocidade tangencial que a pedra tinha enquanto girava (e que permanece constante na horizontal após o arrebentamento, na ausência de resistência do ar).
Passo 5
Centripetalidade: definição e fórmula que vamos usar.
- Em movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta aponta para o centro e tem magnitude
onde:
-
é a velocidade tangencial, -
é o raio da trajetória circular. - Já temos
e , então substituímos na fórmula.
Passo 6
Calcular a aceleração centrípeta:
Observação intuitiva: essa aceleração é muito maior que
(cerca de
vezes), o que indica que a pedra estava sujeita a uma força centrípeta grande enquanto girava.
Passo 7
Agora determinamos o vetor velocidade ao atingir o solo (componentes, magnitude e direção).
- Componente horizontal: permanece igual à velocidade tangencial obtida,
- Componente vertical ao atingir o solo (velocidade adquirida pela queda):
onde o sinal negativo indica direção para baixo.
- Assim o vetor velocidade em componentes (sistema com
horizontal para frente e para cima) é
Passo 8
Magnitude e direção do vetor velocidade:
- Magnitude:
- Direção (ângulo abaixo da horizontal):
Interpretação: ao atingir o solo, a pedra tem velocidade de aproximadamente
, dirigindo-se
abaixo da horizontal.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(magnitude
, direção
abaixo da horizontal)