Um corpo é lançado verticalmente para cima, a partir do solo com velocidade inicial de 35 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerando \mathrm{g}= 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e desprezando a resistência do ar, determine:
a) a altura máxima atingida;
b) o tempo necessário para atingir a altura máxima;
c) a velocidade do corpo depois de 7 s. Nesse instante o corpo está subindo ou descendo.

Passo 1

O enunciado dá um corpo lançado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial v_0=35\\ \mathrm{m/s}. Considerar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e desprezar resistência do ar. O que se pede:
  • (a) a altura máxima atingida;
  • (b) o tempo necessário para atingir a altura máxima;
  • (c) a velocidade do corpo depois de 7\\ \mathrm{s}. Dizer também se, nesse instante, o corpo está subindo ou descendo.
Informações relevantes fornecidas:
  • v_0=35\\ \mathrm{m/s} (direção para cima);
  • aceleração da gravidade g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (direção para baixo);
  • despreza-se resistência do ar;
  • posição inicial (no solo) pode ser tomada como y_0=0.

Passo 2

Entender as equações que vamos usar (aula curta de cinemática vertical com aceleração constante).
  • Adotamos sinal positivo para cima. Então a aceleração é a=-g=-9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Velocidade em função do tempo: v(t)=v_0 + a\,t.
Aqui v(t) é a velocidade no instante t, v_0 é a velocidade inicial e a é a aceleração (constante).
  • Posição (altura) em função do tempo: y(t)=y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
Aqui y(t) é a altura no instante t e y_0 é a altura inicial.
  • Outra relação útil que elimina o tempo é a equação de Torricelli (obtida combinando as duas equações anteriores): v^2 = v_0^2 + 2 a (y - y_0).
Esta é útil para achar a altura máxima porque naquele ponto a velocidade instantânea v é zero.
Vou usar essas fórmulas e explicar cada passo com as contas.

Passo 3

Calcular o tempo para atingir a altura máxima.
  • Na altura máxima a velocidade é zero: v(t_{\text{máx}})=0á.
  • Usando v(t)=v_0 + a t, com a=-g, temos: 0 = v_0 - g\,t_{\text{máx}}.á
  • Isolando t_{\text{máx}}á: t_{\text{máx}}=\dfrac{v_0}{g}.á
  • Substituindo os valores numéricos: t_{\text{máx}}=\dfrac{35}{9,8}\\ \mathrm{s}.á
  • Fazer a conta: t_{\text{máx}}=\dfrac{35}{9,8}=3,571428\ldots\\ \mathrm{s}.á
  • Arredondando razoavelmente (duas casas decimais dadas as entradas): t_{\text{máx}}\approx 3,57\\ \mathrm{s}á.
Comentário rápido: esse tempo é o intervalo que leva para a velocidade inicial de 35\\ \mathrm{m/s} ser reduzida a zero pela desaceleração da gravidade 9,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Calcular a altura máxima atingida.
Duas maneiras são equivalentes; uso a relação sem tempo (é mais direta aqui).
  • Partindo de v^2 = v_0^2 + 2 a (y - y_0),
na altura máxima v=0 e y_0=0, com a=-g. Então: 0 = v_0^2 - 2 g\,y_{\text{máx}}.á
  • Isolando y_{\text{máx}}á: y_{\text{máx}}=\dfrac{v_0^2}{2 g}.á
  • Substituindo os números: y_{\text{máx}}=\dfrac{35^2}{2\cdot 9,8}=\dfrac{1225}{19,6}.á
  • Calculando: y_{\text{máx}}=62,5\\ \mathrm{m}.á
Verificação alternativa rápida usando y(t)=v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 com t=t_{\text{máx}}á daria o mesmo resultado (pode-se conferir se quiser). Portanto a altura máxima é 62,5\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a velocidade do corpo depois de 7\\ \mathrm{s} e dizer se está subindo ou descendo.
  • Usar v(t)=v_0 + a t com a=-g: v(7)=35 - 9,8\cdot 7.
  • Calcular: 9,8\cdot 7=68,6. Então v(7)=35 - 68,6 = -33,6\\ \mathrm{m/s}.
  • O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo, ou seja, o corpo está descendo no instante t=7\\ \mathrm{s}.
Comentário adicional (cheque de consistência): o tempo total de subida e descida até voltar ao solo, sem resistência do ar, é T_{\text{total}}=2 t_{\text{máx}}=2\cdot 3,571428\ldots = 7,142857\ldots\\ \mathrm{s}á. Como 7\\ \mathrm{s}<T_{\text{total}}, o corpo ainda não caiu no solo aos 7\\ \mathrm{s}; está descendo, mas ainda acima do solo.

Resposta

(a) 62,5\\ \mathrm{m}
(b) 3,57\\ \mathrm{s}
(c) v(7)=-33,6\\ \mathrm{m/s} (o sinal negativo indica que o corpo está descendo)

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