Um corpo é lançado verticalmente para cima, a partir do solo com velocidade inicial de
. Considerando
e desprezando a resistência do ar, determine:
a) a altura máxima atingida;
b) o tempo necessário para atingir a altura máxima;
c) a velocidade do corpo depois de 7 s. Nesse instante o corpo está subindo ou descendo.
a) a altura máxima atingida;
b) o tempo necessário para atingir a altura máxima;
c) a velocidade do corpo depois de 7 s. Nesse instante o corpo está subindo ou descendo.
Passo 1
O enunciado dá um corpo lançado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial
. Considerar
e desprezar resistência do ar. O que se pede:
- (a) a altura máxima atingida;
- (b) o tempo necessário para atingir a altura máxima;
- (c) a velocidade do corpo depois de
. Dizer também se, nesse instante, o corpo está subindo ou descendo.
Informações relevantes fornecidas:
-
(direção para cima); - aceleração da gravidade
(direção para baixo); - despreza-se resistência do ar;
- posição inicial (no solo) pode ser tomada como
.
Passo 2
Entender as equações que vamos usar (aula curta de cinemática vertical com aceleração constante).
- Adotamos sinal positivo para cima. Então a aceleração é
. - Velocidade em função do tempo:
Aqui
é a velocidade no instante
,
é a velocidade inicial e
é a aceleração (constante).
- Posição (altura) em função do tempo:
Aqui
é a altura no instante
e
é a altura inicial.
- Outra relação útil que elimina o tempo é a equação de Torricelli (obtida combinando as duas equações anteriores):
Esta é útil para achar a altura máxima porque naquele ponto a velocidade instantânea
é zero.
Vou usar essas fórmulas e explicar cada passo com as contas.
Passo 3
Calcular o tempo para atingir a altura máxima.
- Na altura máxima a velocidade é zero:
. - Usando
, com , temos: - Isolando
: - Substituindo os valores numéricos:
- Fazer a conta:
- Arredondando razoavelmente (duas casas decimais dadas as entradas):
.
Comentário rápido: esse tempo é o intervalo que leva para a velocidade inicial de
ser reduzida a zero pela desaceleração da gravidade
.
Passo 4
Calcular a altura máxima atingida.
Duas maneiras são equivalentes; uso a relação sem tempo (é mais direta aqui).
Duas maneiras são equivalentes; uso a relação sem tempo (é mais direta aqui).
- Partindo de
na altura máxima
e
, com
. Então:
- Isolando
: - Substituindo os números:
- Calculando:
Verificação alternativa rápida usando
com
daria o mesmo resultado (pode-se conferir se quiser). Portanto a altura máxima é
.
Passo 5
Calcular a velocidade do corpo depois de
e dizer se está subindo ou descendo.
- Usar
com : - Calcular:
. Então - O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo, ou seja, o corpo está descendo no instante
.
Comentário adicional (cheque de consistência): o tempo total de subida e descida até voltar ao solo, sem resistência do ar, é
. Como
, o corpo ainda não caiu no solo aos
; está descendo, mas ainda acima do solo.
Resposta
(a)
(b)
(c) (o sinal negativo indica que o corpo está descendo)
(b)
(c)