Um ponto executa um movimento tridimensional descrito pelas seguintes equações de movimento: x(t)=r \cos (\omega t), y(t)=r \sin (\omega t) e z(t)=b t, onde r, b e \omega são constantes. Ache (a) as componentes x, y e z da velocidade em qualquer instante t; (b) as componentes da aceleração correspondentes; (c) o módulo do vetor velocidade; (d) o módulo do vetor aceleração.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas do ponto em função do tempo:
x(t)=r\cos(\omega t),\qquad y(t)=r\sin(\omega t),\qquad z(t)=b\,t,
onde r, b e \omega são constantes. O que se pede:
(a) as componentes x,y,z da velocidade em qualquer instante t;
(b) as componentes da aceleração correspondentes;
(c) o módulo do vetor velocidade;
(d) o módulo do vetor aceleração.

Passo 2

Lembrete básico e regras de derivação que vamos usar (modo amiguinho e passo-a-passo):
  • A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), então \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}=(\dot x,\dot y,\dot z).
  • A aceleração é a derivada da velocidade: \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=(\ddot x,\ddot y,\ddot z).
  • Regra prática de derivação que vamos usar:
    • \dfrac{d}{dt}\big(\cos(\omega t)\big)=-\omega\sin(\omega t) (cadeia: derivada do cos é -sin multiplicada pela derivada de \omega t, que é \omega).
    • \dfrac{d}{dt}\big(\sin(\omega t)\big)=\omega\cos(\omega t).
    • \dfrac{d}{dt}(b t)=b (porque b é constante).

Passo 3

Calcular as componentes da velocidade aplicando a derivada em cada coordenada (mostrando os passos):
  • Para x(t)=r\cos(\omega t):
\dot x(t)=\dfrac{d}{dt}\big(r\cos(\omega t)\big)=r\cdot\big(-\omega\sin(\omega t)\big)=-r\omega\sin(\omega t).
  • Para y(t)=r\sin(\omega t):
\dot y(t)=\dfrac{d}{dt}\big(r\sin(\omega t)\big)=r\cdot\big(\omega\cos(\omega t)\big)=r\omega\cos(\omega t).
  • Para z(t)=b t:
\dot z(t)=\dfrac{d}{dt}(b t)=b.
Portanto já temos as componentes da velocidade.

Passo 4

Escrevendo o vetor velocidade completo (para visualizar melhor):
\mathbf{v}(t)=\big(\,-r\omega\sin(\omega t),\; r\omega\cos(\omega t),\; b\,\big).
Comentário rápido e encorajador: a projeção no plano xy tem magnitude r\omega (velocidade circular), e o termo b é a componente vertical constante — está saindo uma hélice, legal!

Passo 5

Agora a aceleração: derivamos cada componente da velocidade. Usamos novamente a cadeia para derivar \sin(\omega t) e \cos(\omega t).
  • Para \dot x(t)=-r\omega\sin(\omega t):
\ddot x(t)=\dfrac{d}{dt}\big(-r\omega\sin(\omega t)\big)=-r\omega\cdot\big(\omega\cos(\omega t)\big)=-r\omega^{2}\cos(\omega t).
  • Para \dot y(t)=r\omega\cos(\omega t):
\ddot y(t)=\dfrac{d}{dt}\big(r\omega\cos(\omega t)\big)=r\omega\cdot\big(-\omega\sin(\omega t)\big)=-r\omega^{2}\sin(\omega t).
  • Para \dot z(t)=b:
\ddot z(t)=\dfrac{d}{dt}(b)=0.

Passo 6

Escrevendo o vetor aceleração completo:
\mathbf{a}(t)=\big(\,-r\omega^{2}\cos(\omega t),\; -r\omega^{2}\sin(\omega t),\; 0\big).
Interpretação curta: a aceleração está toda no plano xy e aponta para o centro da circunferência (é centrípeta), enquanto na direção z não há aceleração porque z varia linearmente com t.

Passo 7

Cálculo do módulo da velocidade |\mathbf{v}(t)|. Por definição,
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\dot x^{2}+\dot y^{2}+\dot z^{2}}.
Substituindo as componentes:
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(-r\omega\sin(\omega t)\big)^{2}+\big(r\omega\cos(\omega t)\big)^{2}+b^{2}}.
Simplificando os quadrados:
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{r^{2}\omega^{2}\sin^{2}(\omega t)+r^{2}\omega^{2}\cos^{2}(\omega t)+b^{2}}.
Fatorando r^{2}\omega^{2} e usando a identidade trigonométrica \sin^{2}+\cos^{2}=1:
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{r^{2}\omega^{2}\big(\sin^{2}+\cos^{2}\big)+b^{2}}=\sqrt{r^{2}\omega^{2}+b^{2}}.
Observação: esse módulo é constante no tempo — a velocidade tem módulo fixo (movimento helicoidal com velocidade escalar constante).

Passo 8

Cálculo do módulo da aceleração |\mathbf{a}(t)|. Por definição,
|\mathbf{a}(t)|=\sqrt{\ddot x^{2}+\ddot y^{2}+\ddot z^{2}}.
Substituindo:
|\mathbf{a}(t)|=\sqrt{\big(-r\omega^{2}\cos(\omega t)\big)^{2}+\big(-r\omega^{2}\sin(\omega t)\big)^{2}+0^{2}}.
Isso dá
|\mathbf{a}(t)|=\sqrt{r^{2}\omega^{4}\cos^{2}(\omega t)+r^{2}\omega^{4}\sin^{2}(\omega t)}
e fatorando r^{2}\omega^{4} e usando \sin^{2}+\cos^{2}=1:
|\mathbf{a}(t)|=\sqrt{r^{2}\omega^{4}}=r\omega^{2},
valor positivo e também constante no tempo. (É exatamente a aceleração centrípeta associada ao movimento circular de raio r com velocidade angular \omega.)

Resposta

(a) \;v_x(t)=-r\omega\sin(\omega t),\quad v_y(t)=r\omega\cos(\omega t),\quad v_z(t)=b.
(b) \;a_x(t)=-r\omega^{2}\cos(\omega t),\quad a_y(t)=-r\omega^{2}\sin(\omega t),\quad a_z(t)=0.
(c) \;|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{r^{2}\omega^{2}+b^{2}}.
(d) \;|\mathbf{a}(t)|=r\omega^{2}.

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