Um ponto executa um movimento tridimensional descrito pelas seguintes equações de movimento:
,
e
, onde
e
são constantes. Ache (a) as componentes
e
da velocidade em qualquer instante
; (b) as componentes da aceleração correspondentes; (c) o módulo do vetor velocidade; (d) o módulo do vetor aceleração.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas do ponto em função do tempo:
onde
,
e
são constantes. O que se pede:
(a) as componentes da velocidade em qualquer instante
;
(b) as componentes da aceleração correspondentes;
(c) o módulo do vetor velocidade;
(d) o módulo do vetor aceleração.
(a) as componentes
(b) as componentes da aceleração correspondentes;
(c) o módulo do vetor velocidade;
(d) o módulo do vetor aceleração.
Passo 2
Lembrete básico e regras de derivação que vamos usar (modo amiguinho e passo-a-passo):
- A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Se
, então . - A aceleração é a derivada da velocidade:
. - Regra prática de derivação que vamos usar:
-
(cadeia: derivada do cos é -sin multiplicada pela derivada de , que é ). -
. -
(porque é constante).
-
Passo 3
Calcular as componentes da velocidade aplicando a derivada em cada coordenada (mostrando os passos):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto já temos as componentes da velocidade.
Passo 4
Escrevendo o vetor velocidade completo (para visualizar melhor):
Comentário rápido e encorajador: a projeção no plano
tem magnitude
(velocidade circular), e o termo
é a componente vertical constante — está saindo uma hélice, legal!
Passo 5
Agora a aceleração: derivamos cada componente da velocidade. Usamos novamente a cadeia para derivar
e
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Escrevendo o vetor aceleração completo:
Interpretação curta: a aceleração está toda no plano
e aponta para o centro da circunferência (é centrípeta), enquanto na direção
não há aceleração porque
varia linearmente com
.
Passo 7
Cálculo do módulo da velocidade
. Por definição,
Substituindo as componentes:
Simplificando os quadrados:
Fatorando
e usando a identidade trigonométrica
:
Observação: esse módulo é constante no tempo — a velocidade tem módulo fixo (movimento helicoidal com velocidade escalar constante).
Passo 8
Cálculo do módulo da aceleração
. Por definição,
Substituindo:
Isso dá
e fatorando
e usando
:
valor positivo e também constante no tempo. (É exatamente a aceleração centrípeta associada ao movimento circular de raio
com velocidade angular
.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)