Uma partícula desloca-se no plano x y com a aceleração constante. No instante inicial (t=0) a partícula está em x=4 m, y=3 m e tem a velocidade
\vec{v}=(2 \hat{\mathbf{i}}-9 \hat{\mathbf{j}}) \mathrm{m} / \mathrm{s}. A aceleração é dada por \vec{a}=(4 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. (a) Calcular o vetor velocidade no instante t=2 s. (b) Calcular o vetor posição no instante t=4 \mathrm{~s}. Dar o módulo e a direção do vetor posição.

Passo 1

O enunciado dá os valores iniciais e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede (sem resolver ainda):
Dados (peguei todos do enunciado):
  • Posição inicial: \vec{r}_0 = 4\hat{\mathbf{i}} + 3\hat{\mathbf{j}} (em \mathrm{m}).
  • Velocidade inicial: \vec{v}_0 = 2\hat{\mathbf{i}} - 9\hat{\mathbf{j}} (em \mathrm{m/s}).
  • Aceleração constante: \vec{a} = 4\hat{\mathbf{i}} + 3\hat{\mathbf{j}} (em \mathrm{m/s^2}).
O enunciado pede:
(a) Calcular o vetor velocidade no instante t=2\\ \mathrm{s}.
(b) Calcular o vetor posição no instante t=4\\ \mathrm{s}. Dar também o módulo e a direção do vetor posição.

Passo 2

Fórmula para velocidade quando a aceleração é constante — explicação didática:
  • A aceleração é a derivada da velocidade: \vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}.
  • Se \vec{a} é constante, integra-se em relação a t para obter a velocidade:
\vec{v}(t)=\vec{v}_0+\vec{a}\,t.
Aqui \vec{v}_0 é a velocidade no instante inicial t=0, \vec{a} é a aceleração constante e t é o tempo decorrido. A fórmula é vetorial, então vale componente a componente.

Passo 3

Aplicando a fórmula para t=2\\ \mathrm{s} componente a componente (contando passo a passo):
  • Componente x:
v_x(2)=v_{0x}+a_x\cdot 2 = 2 + 4\cdot 2 = 2 + 8 = 10.
  • Componente y:
v_y(2)=v_{0y}+a_y\cdot 2 = -9 + 3\cdot 2 = -9 + 6 = -3.
Portanto o vetor velocidade no instante pedido é
\vec{v}(2)=10\hat{\mathbf{i}}-3\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

Fórmula para posição quando a aceleração é constante — explicação didática:
  • A velocidade é a derivada da posição: \vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}.
  • Integrando a expressão da velocidade \vec{v}(t)=\vec{v}_0+\vec{a}t obtemos a posição:
\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0 t + \tfrac{1}{2}\vec{a}t^2.
Nesta fórmula \vec{r}_0 é a posição inicial, \vec{v}_0 é a velocidade inicial e \vec{a} a aceleração constante. Novamente aplica-se componente a componente.

Passo 5

Calcular a posição em t=4\\ \mathrm{s} passo a passo por componentes:
  • Componente x:
x(4)=x_0+v_{0x}\cdot 4 + \tfrac{1}{2}a_x\cdot 4^2.
Substituindo números:
x(4)=4 + 2\cdot 4 + \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 16 = 4 + 8 + 2\cdot 16 = 4 + 8 + 32 = 44.
  • Componente y:
y(4)=y_0+v_{0y}\cdot 4 + \tfrac{1}{2}a_y\cdot 4^2.
Substituindo:
y(4)=3 + (-9)\cdot 4 + \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 16 = 3 -36 + \tfrac{3}{2}\cdot 16 = 3 -36 + 24 = -9.
Logo a posição no instante pedido é
\vec{r}(4)=44\hat{\mathbf{i}}-9\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{m}).

Passo 6

Calcular o módulo (norma) de \vec{r}(4) — explicação didática:
  • Para um vetor \vec{r}=(x,y) no plano, o módulo é dado por
\lVert \vec{r}\rVert = \sqrt{x^2+y^2}.
Isto vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas componentes.
Aplicando a x=44 e y=-9:
\lVert \vec{r}(4)\rVert = \sqrt{44^2 + (-9)^2} = \sqrt{1936 + 81} = \sqrt{2017}.
Aproximação decimal (para leitura rápida):
\sqrt{2017}\approx 44{,}92\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular a direção do vetor posição — explicação didática:
  • A direção em relação ao eixo +x é o ângulo \theta tal que
\theta = \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
  • Aqui é importante observar o sinal de x e y para determinar o quadrante. No nosso caso x=44>0 e y=-9<0, então o vetor está no quarto quadrante (abaixo do eixo x), e o ângulo retornado por \arctan(y/x) será negativo (medido no sentido horário a partir do eixo +x).
Calcule:
\theta = \arctan\!\left(\dfrac{-9}{44}\right)=\arctan\!\bigl(-0{,}204545\ldots\bigr)\approx -0{,}2017\\ \mathrm{rad}.
Convertendo para graus:
\theta \approx -0{,}2017\cdot \dfrac{180^\circ}{\pi}\approx -11{,}57^\circ.
Interpretação: o vetor posição aponta aproximadamente 11{,}57^\circ abaixo do eixo +x.

Resposta

(a) \vec{v}(2)=10\hat{\mathbf{i}}-3\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{m/s}\n
(b) \vec{r}(4)=44\hat{\mathbf{i}}-9\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{m}\n
\lVert \vec{r}(4)\rVert = \sqrt{2017}\\ \mathrm{m}\approx 44{,}92\\ \mathrm{m}\n
Direção: \theta=\arctan\!\left(\dfrac{-9}{44}\right)\approx -0{,}2017\\ \mathrm{rad}\approx -11{,}57^\circ (abaixo do eixo +x).

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