Uma partícula desloca-se no plano
com a aceleração constante. No instante inicial
a partícula está em
e tem a velocidade
. A aceleração é dada por
. (a) Calcular o vetor velocidade no instante
. (b) Calcular o vetor posição no instante
. Dar o módulo e a direção do vetor posição.
Passo 1
O enunciado dá os valores iniciais e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede (sem resolver ainda):
Dados (peguei todos do enunciado):
- Posição inicial:
(em ). - Velocidade inicial:
(em ). - Aceleração constante:
(em ).
O enunciado pede:
(a) Calcular o vetor velocidade no instante .
(b) Calcular o vetor posição no instante . Dar também o módulo e a direção do vetor posição.
(a) Calcular o vetor velocidade no instante
(b) Calcular o vetor posição no instante
Passo 2
Fórmula para velocidade quando a aceleração é constante — explicação didática:
- A aceleração é a derivada da velocidade:
. - Se
é constante, integra-se em relação a para obter a velocidade:
Aqui
é a velocidade no instante inicial
,
é a aceleração constante e
é o tempo decorrido. A fórmula é vetorial, então vale componente a componente.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
componente a componente (contando passo a passo):
- Componente
:
- Componente
:
Portanto o vetor velocidade no instante pedido é
Passo 4
Fórmula para posição quando a aceleração é constante — explicação didática:
- A velocidade é a derivada da posição:
. - Integrando a expressão da velocidade
obtemos a posição:
Nesta fórmula
é a posição inicial,
é a velocidade inicial e
a aceleração constante. Novamente aplica-se componente a componente.
Passo 5
Calcular a posição em
passo a passo por componentes:
- Componente
:
Substituindo números:
- Componente
:
Substituindo:
Logo a posição no instante pedido é
Passo 6
Calcular o módulo (norma) de
— explicação didática:
- Para um vetor
no plano, o módulo é dado por
Isto vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas componentes.
Aplicando a
e
:
Aproximação decimal (para leitura rápida):
Passo 7
Calcular a direção do vetor posição — explicação didática:
- A direção em relação ao eixo
é o ângulo tal que
- Aqui é importante observar o sinal de
e para determinar o quadrante. No nosso caso e , então o vetor está no quarto quadrante (abaixo do eixo ), e o ângulo retornado por será negativo (medido no sentido horário a partir do eixo ).
Calcule:
Convertendo para graus:
Interpretação: o vetor posição aponta aproximadamente
abaixo do eixo
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
\n
Direção: (abaixo do eixo
).
(b)
Direção: