A posição de uma partícula em função do tempo é \mathbf{r}=4 \operatorname{sen}(2 \pi t) \mathbf{i}+4 \cos (2 \pi t) \mathbf{j}, onde r está em metros t em segundos. a) Mostre que a trajetória da partícula é um círculo. b) Obtenha a velocidade e a aceleração da partícula. (Resp. a) x^{2}+y^{2}=16 b) \left.\boldsymbol{v}=8 \pi(\cos 2 \pi t ;-\operatorname{sen} 2 \pi t) \quad \boldsymbol{a}=-16 \pi^{2}(\operatorname{sen}(2 \pi t) ; \cos (2 \pi t))\right)

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
\mathbf{r}(t)=4\operatorname{sen}(2\pi t)\,\mathbf{i}+4\cos(2\pi t)\,\mathbf{j},
com \mathbf{r} em metros e t em segundos.
As perguntas são:
a) Mostrar que a trajetória é um círculo (ou seja, obter a equação do lugar geométrico x e y).
b) Calcular a velocidade \boldsymbol{v}(t) e a aceleração \boldsymbol{a}(t) da partícula.
Informações relevantes dadas:
x(t)=4\operatorname{sen}(2\pi t),\qquad y(t)=4\cos(2\pi t).

Passo 2

Vamos escrever explicitamente as componentes x(t) e y(t) para eliminar o parâmetro t:
x(t)=4\operatorname{sen}(2\pi t),
y(t)=4\cos(2\pi t).
Essas duas expressões relacionam as coordenadas x e y ao mesmo argumento trigonométrico 2\pi t. A técnica padrão para achar a equação da trajetória é eliminar t usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica fundamental
\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1,
com \theta=2\pi t. Dividimos x e y por 4 e elevamos ao quadrado:
\left(\frac{x}{4}\right)^2=\operatorname{sen}^2(2\pi t),
\left(\frac{y}{4}\right)^2=\cos^2(2\pi t).
Somando as duas igualdades e usando a identidade,
\left(\frac{x}{4}\right)^2+\left(\frac{y}{4}\right)^2=\operatorname{sen}^2(2\pi t)+\cos^2(2\pi t)=1.
Multiplicando por 16 obtemos a equação cartesiana da trajetória:
x^{2}+y^{2}=16.
Isto mostra que a trajetória é um círculo de raio 4 centrado na origem.

Passo 4

Agora vamos calcular a velocidade. Lembre que a velocidade é a derivada temporal da posição:
\boldsymbol{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}.
Precisamos aplicar regras básicas de derivação:
  • A derivada de k\cdot f(t) é k\cdot f'(t) (constante k pode sair da derivada).
  • A derivada de \operatorname{sen}(u(t)) é u'(t)\cos(u(t)) (regra da cadeia).
  • A derivada de \cos(u(t)) é -u'(t)\operatorname{sen}(u(t)).
Aqui u(t)=2\pi t e u'(t)=2\pi.

Passo 5

Derivamos componente a componente:
Para a componente x(t)=4\operatorname{sen}(2\pi t):
\frac{dx}{dt}=4\cdot\frac{d}{dt}\operatorname{sen}(2\pi t)=4\cdot(2\pi)\cos(2\pi t)=8\pi\cos(2\pi t).
Para a componente y(t)=4\cos(2\pi t):
\frac{dy}{dt}=4\cdot\frac{d}{dt}\cos(2\pi t)=4\cdot\big(-2\pi\operatorname{sen}(2\pi t)\big)=-8\pi\operatorname{sen}(2\pi t).
Juntando as componentes obtemos a velocidade vetorial:
\boldsymbol{v}(t)=8\pi\cos(2\pi t)\,\mathbf{i}-8\pi\operatorname{sen}(2\pi t)\,\mathbf{j}.
Em forma mais compacta:
\boldsymbol{v}(t)=8\pi\big(\cos(2\pi t);\,-\operatorname{sen}(2\pi t)\big).

Passo 6

Agora calculamos a aceleração, que é a derivada da velocidade:
\boldsymbol{a}(t)=\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}.
Aplicamos novamente a regra da cadeia componente a componente.

Passo 7

Derivando as componentes da velocidade:
Para a componente v_x(t)=8\pi\cos(2\pi t):
\frac{d v_x}{dt}=8\pi\cdot\frac{d}{dt}\cos(2\pi t)=8\pi\cdot(-2\pi)\operatorname{sen}(2\pi t)=-16\pi^{2}\operatorname{sen}(2\pi t).
Para a componente v_y(t)=-8\pi\operatorname{sen}(2\pi t):
\frac{d v_y}{dt}=-8\pi\cdot\frac{d}{dt}\operatorname{sen}(2\pi t)=-8\pi\cdot(2\pi)\cos(2\pi t)=-16\pi^{2}\cos(2\pi t).
Portanto a aceleração vetorial é
\boldsymbol{a}(t)=-16\pi^{2}\operatorname{sen}(2\pi t)\,\mathbf{i}-16\pi^{2}\cos(2\pi t)\,\mathbf{j}.
Ou de forma compacta:
\boldsymbol{a}(t)=-16\pi^{2}\big(\operatorname{sen}(2\pi t);\;\cos(2\pi t)\big).

Passo 8

Comentário rápido (útil na prova): observe que \boldsymbol{a}(t) é proporcional a -\mathbf{r}(t). De fato,
\boldsymbol{a}(t)=-4\pi^{2}\,\mathbf{r}(t),
o que indica aceleração centrípeta sempre apontando para o centro do círculo — isto é, movimento circular uniforme.

Resposta

x^{2}+y^{2}=16
\boldsymbol{v}(t)=8\pi\big(\cos(2\pi t);-\operatorname{sen}(2\pi t)\big)\quad \boldsymbol{a}(t)=-16\pi^{2}\big(\operatorname{sen}(2\pi t);\cos(2\pi t)\big)

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