A posição de uma partícula em função do tempo é
, onde
está em metros
em segundos. a) Mostre que a trajetória da partícula é um círculo. b) Obtenha a velocidade e a aceleração da partícula. (Resp. a)
b)
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
com
em metros e
em segundos.
As perguntas são:
a) Mostrar que a trajetória é um círculo (ou seja, obter a equação do lugar geométrico e
).
b) Calcular a velocidade e a aceleração
da partícula.
As perguntas são:
a) Mostrar que a trajetória é um círculo (ou seja, obter a equação do lugar geométrico
b) Calcular a velocidade
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos escrever explicitamente as componentes
e
para eliminar o parâmetro
:
Essas duas expressões relacionam as coordenadas
e
ao mesmo argumento trigonométrico
. A técnica padrão para achar a equação da trajetória é eliminar
usando identidades trigonométricas.
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
com
. Dividimos
e
por
e elevamos ao quadrado:
Somando as duas igualdades e usando a identidade,
Multiplicando por
obtemos a equação cartesiana da trajetória:
Isto mostra que a trajetória é um círculo de raio
centrado na origem.
Passo 4
Agora vamos calcular a velocidade. Lembre que a velocidade é a derivada temporal da posição:
Precisamos aplicar regras básicas de derivação:
- A derivada de
é (constante pode sair da derivada). - A derivada de
é (regra da cadeia). - A derivada de
é .
Aqui
e
.
Passo 5
Derivamos componente a componente:
Para a componente
:
Para a componente
:
Juntando as componentes obtemos a velocidade vetorial:
Em forma mais compacta:
Passo 6
Agora calculamos a aceleração, que é a derivada da velocidade:
Aplicamos novamente a regra da cadeia componente a componente.
Passo 7
Derivando as componentes da velocidade:
Para a componente
:
Para a componente
:
Portanto a aceleração vetorial é
Ou de forma compacta:
Passo 8
Comentário rápido (útil na prova): observe que
é proporcional a
. De fato,
o que indica aceleração centrípeta sempre apontando para o centro do círculo — isto é, movimento circular uniforme.