Uma pedra se movimenta em um plano vertical e descreve um círculo de raio 5 m, no sentido anti-horário e com aceleração angular \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}. Se a pedra iniciou seu movimento partindo do repouso e do ponto mais baixo da trajetória, calcule sua aceleração no instante t=0,5 s. (Resp. \boldsymbol{a}=5 \pi \hat{\theta}-\frac{5 \pi^{2}}{4} \hat{r}, 4^{\underline{\circ}} quadrante e ângulo de \pi / 8 )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a aceleração da pedra no instante t=0{,}5\\ \mathrm{s}:
  • Raio da trajetória: R=5\\ \mathrm{m}.
  • Movimento em plano vertical descrevendo um círculo no sentido anti-horário.
  • Aceleração angular constante: \alpha=\ddot{\theta}=\pi\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
  • Condição inicial: partiu do repouso ( \dot{\theta}(0)=0) e do ponto mais baixo da trajetória.
  • Instante pedido: t=0{,}5\\ \mathrm{s}.
Perguntas explícitas (o que precisamos encontrar):
  • A aceleração vetorial \mathbf{a} no instante t=0{,}5\\ \mathrm{s}, expressa nas componentes do sistema de base \{\hat{r},\hat{\theta}\}.
  • Em que quadrante está a pedra nesse instante e qual é o ângulo associado (conforme resposta esperada).
Observação sobre a escolha de referência angular (importante para localizar a pedra):
  • Vou usar a medida de ângulo usual \theta a partir do eixo x positivo (sentido anti-horário).
  • O ponto mais baixo da trajetória corresponde a \theta(0)=-\tfrac{\pi}{2} (ou equivalentemente 3\pi/2). Isso serve para localizar a pedra no instante pedido.

Passo 2

Relembrando as fórmulas de cinemática para movimento circular (aulas rápidas e úteis para prova):
  • Para uma partícula em movimento sobre um círculo de raio R com ângulo \theta(t), a velocidade vetorial tem módulo v=R\dot{\theta} e direção tangencial \hat{\theta}. Em notação:
\mathbf{v}=R\dot{\theta}\,\hat{\theta}.
  • A aceleração vetorial se decompõe em duas componentes ortogonais (radial e tangencial):
\mathbf{a}=a_r\,\hat{r}+a_\theta\,\hat{\theta},
onde
a_r = -R\dot{\theta}^{2}\quad\text{(aceleração centrípeta, aponta para o centro, hence o sinal negativo)},çãí
a_\theta = R\ddot{\theta}\quad\text{(aceleração tangencial, altera o módulo da velocidade)}.çãó
Explicação das fórmulas (passo-a-passo):
  • R\dot{\theta}^{2} surge porque a velocidade escalar tangencial é v=R\dot{\theta}. A componente radial é a projeção da derivada da direção do vetor velocidade e resulta em -v^{2}/R=-R\dot{\theta}^{2}. O sinal negativo indica que é dirigida para o centro.
  • R\ddot{\theta} vem da derivada temporal do módulo da velocidade: \dot{v}=R\ddot{\theta}. Essa componente é tangencial ( \hat{\theta}) e tem o sinal do \ddot{\theta}; aqui \ddot{\theta}>0 (gira acelerando no sentido anti-horário), então a_\theta>0.

Passo 3

Calcular \dot{\theta}(t) e \theta(t) a partir dos dados:
  • Como \ddot{\theta}=\alpha=\pi\\ \mathrm{rad/s^{2}} constante e \dot{\theta}(0)=0,
\dot{\theta}(t)=\dot{\theta}(0)+\alpha t = 0 + \pi t = \pi t.
  • Integrando para obter \theta(t). Com \theta(0)=-\tfrac{\pi}{2} (ponto mais baixo):
\theta(t)=\theta(0)+\int_{0}^{t}\dot{\theta}(t')\,dt' = -\tfrac{\pi}{2} + \int_{0}^{t}\pi t'\,dt' = -\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{1}{2}\pi t^{2}.
  • Avaliando em t=0{,}5\\ \mathrm{s}:
\dot{\theta}(0{,}5)=\pi\cdot 0{,}5 = \tfrac{\pi}{2}\\ \mathrm{rad/s},
\theta(0{,}5) = -\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{1}{2}\pi(0{,}5)^{2} = -\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{1}{2}\pi\cdot 0{,}25 = -\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{\pi}{8} = -\tfrac{3\pi}{8}.
Interpretação geométrica:
  • \theta(0{,}5)=-\tfrac{3\pi}{8} corresponde a -67{,}5^\circ, ou seja, a pedra está no 4.º quadrante do plano xy (posição com x>0,\\ y<0).
  • Note que a partir do ponto mais baixo (direção negativa do eixo y), a pedra girou um ângulo de \tfrac{\pi}{8} no sentido anti-horário em relação à vertical para cima do ponto mais baixo. Em outras palavras, a posição está a um ângulo de \tfrac{\pi}{8} medido a partir da direção vertical descendente.

Passo 4

Calcular as componentes da aceleração no instante pedido usando as fórmulas do Passo 2:
  • Com R=5\\ \mathrm{m}, \dot{\theta}(0{,}5)=\tfrac{\pi}{2} e \ddot{\theta}=\pi:
Tangencial:
a_{\theta}=R\ddot{\theta}=5\cdot \pi = 5\pi\quad(\mathrm{m/s^{2}}).
Radial:
a_{r}=-R\dot{\theta}^{2} = -5\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{2} = -5\cdot \tfrac{\pi^{2}}{4} = -\tfrac{5\pi^{2}}{4}\quad(\mathrm{m/s^{2}}).
Explicação didática:
  • O termo a_{\theta}=5\pi é a “força” que está acelerando a velocidade angular (mudança no módulo da velocidade tangencial).
  • O termo a_{r}=-\tfrac{5\pi^{2}}{4} é a aceleração centrípeta, sempre apontando para o centro (por isso o sinal negativo na componente radial).

Passo 5

Escrever o vetor aceleração na base \{\hat{r},\hat{\theta}\}:
\mathbf{a}(0{,}5)=a_{r}\,\hat{r}+a_{\theta}\,\hat{\theta} = -\tfrac{5\pi^{2}}{4}\,\hat{r} + 5\pi\,\hat{\theta}.
Colocando na ordem pedida (tal como na resposta esperada):
\boxed{\mathbf{a}(0{,}5)=5\pi\,\hat{\theta}-\tfrac{5\pi^{2}}{4}\,\hat{r}.}

Passo 6

Determinar o quadrante e o ângulo mencionado:
  • A posição angular absoluta (no referencial padrão a partir do eixo x positivo) é \theta(0{,}5)=-\tfrac{3\pi}{8}. Como -\tfrac{3\pi}{8} está entre -\tfrac{\pi}{2} e 0, a pedra está no 4.º quadrante — portanto concorda com “4.º quadrante”.
  • O ângulo de deslocamento a partir do ponto mais baixo (vertical para baixo) até a posição atual é \tfrac{\pi}{8}. Essa é a interpretação usual de “ \pi/8” citada na resposta: a pedra girou \tfrac{\pi}{8} a partir do ponto mais baixo no sentido anti-horário.

Resposta

\mathbf{a}(0{,}5)=5\pi\,\hat{\theta}-\dfrac{5\pi^{2}}{4}\,\hat{r}
4.º quadrante, ângulo \dfrac{\pi}{8}

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