Uma pedra se movimenta em um plano vertical e descreve um círculo de raio
, no sentido anti-horário e com aceleração angular
. Se a pedra iniciou seu movimento partindo do repouso e do ponto mais baixo da trajetória, calcule sua aceleração no instante
. (Resp.
quadrante e ângulo de
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a aceleração da pedra no instante
:
- Raio da trajetória:
. - Movimento em plano vertical descrevendo um círculo no sentido anti-horário.
- Aceleração angular constante:
. - Condição inicial: partiu do repouso (
) e do ponto mais baixo da trajetória. - Instante pedido:
.
Perguntas explícitas (o que precisamos encontrar):
- A aceleração vetorial
no instante , expressa nas componentes do sistema de base . - Em que quadrante está a pedra nesse instante e qual é o ângulo associado (conforme resposta esperada).
Observação sobre a escolha de referência angular (importante para localizar a pedra):
- Vou usar a medida de ângulo usual
a partir do eixo positivo (sentido anti-horário). - O ponto mais baixo da trajetória corresponde a
(ou equivalentemente ). Isso serve para localizar a pedra no instante pedido.
Passo 2
Relembrando as fórmulas de cinemática para movimento circular (aulas rápidas e úteis para prova):
- Para uma partícula em movimento sobre um círculo de raio
com ângulo , a velocidade vetorial tem módulo e direção tangencial . Em notação:
- A aceleração vetorial se decompõe em duas componentes ortogonais (radial e tangencial):
onde
Explicação das fórmulas (passo-a-passo):
-
surge porque a velocidade escalar tangencial é . A componente radial é a projeção da derivada da direção do vetor velocidade e resulta em . O sinal negativo indica que é dirigida para o centro. -
vem da derivada temporal do módulo da velocidade: . Essa componente é tangencial ( ) e tem o sinal do ; aqui (gira acelerando no sentido anti-horário), então .
Passo 3
Calcular
e
a partir dos dados:
- Como
constante e ,
- Integrando para obter
. Com (ponto mais baixo):
- Avaliando em
:
Interpretação geométrica:
-
corresponde a , ou seja, a pedra está no 4.º quadrante do plano (posição com ). - Note que a partir do ponto mais baixo (direção negativa do eixo
), a pedra girou um ângulo de no sentido anti-horário em relação à vertical para cima do ponto mais baixo. Em outras palavras, a posição está a um ângulo de medido a partir da direção vertical descendente.
Passo 4
Calcular as componentes da aceleração no instante pedido usando as fórmulas do Passo 2:
- Com
, e :
Tangencial:
Radial:
Explicação didática:
- O termo
é a “força” que está acelerando a velocidade angular (mudança no módulo da velocidade tangencial). - O termo
é a aceleração centrípeta, sempre apontando para o centro (por isso o sinal negativo na componente radial).
Passo 5
Escrever o vetor aceleração na base
:
Colocando na ordem pedida (tal como na resposta esperada):
Passo 6
Determinar o quadrante e o ângulo mencionado:
- A posição angular absoluta (no referencial padrão a partir do eixo
positivo) é . Como está entre e , a pedra está no 4.º quadrante — portanto concorda com “4.º quadrante”. - O ângulo de deslocamento a partir do ponto mais baixo (vertical para baixo) até a posição atual é
. Essa é a interpretação usual de “ ” citada na resposta: a pedra girou a partir do ponto mais baixo no sentido anti-horário.
Resposta
4.º quadrante, ângulo