Um menino faz uma pedra descrever uma circunferência horizontal com um raio
acima do chão a uma altura
. A corda arrebenta e a pedra é arremessada horizontalmente, chegando ao solo depois de percorrer uma distância horizontal
. Qual era o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular? ( 1,5 pontos)
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um menino que faz uma pedra girar em uma circunferência horizontal e, de repente, a corda arrebenta. A pedra é lançada horizontalmente e percorre uma distância
até atingir o solo, que está a uma altura
. O que a gente precisa descobrir é qual era a aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e de projetil.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o movimento da pedra depois que a corda arrebenta. Quando isso acontece, a pedra é lançada horizontalmente com uma certa velocidade inicial, que é a velocidade que ela tinha durante o movimento circular. Como a pedra cai do céu, o tempo que ela leva para atingir o chão depende apenas da altura
e da aceleração da gravidade
.
A equação para o tempo de queda livre é:
Passo 3
Agora, sabendo o tempo
que a pedra leva para cair, podemos calcular a distância horizontal
que ela percorre. Como a pedra é lançada horizontalmente, a distância percorrida é a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo:
Onde
é a velocidade da pedra no momento em que a corda arrebenta.
Passo 4
Queremos encontrar a aceleração centrípeta
. Sabemos que a aceleração centrípeta está relacionada com a velocidade e o raio
da circunferência pela fórmula:
Mas precisamos relacionar isso com a distância
e a altura
.
Passo 5
Vamos resolver a equação da distância para encontrar a velocidade
:
Agora, substituímos
na fórmula da aceleração centrípeta:
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
Mas observando a alternativa (b), percebemos que há uma forma diferente de expressar a aceleração centrípeta. Portanto, reescrevendo a expressão: