Qual é o menor número de 3 algarismos divisível simultaneamente por:
3, 5, 6 e 9?

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Qual é o menor número de 3 algarismos divisível por 3, 5, 6 e 9?”
Conteúdo: vamos usar a ideia de m.m.c. (mínimo múltiplo comum) e depois achar o menor múltiplo desse m.m.c. que seja um número de 3 dígitos.
O que precisamos:
  • Saber fatorar cada número em primos.
  • Entender como montar o m.m.c. a partir dessas fatorações.
  • Achar o primeiro múltiplo do m.m.c. que fique ≥100.

Passo 2

Primeiro, fatoramos cada divisor:
3 = 3
5 = 5
6 = 2 cdot 3
9 = 3^2
Para montar o m.m.c., pegamos cada primo na maior potência em que aparece:
  • O primo 2 aparece só em 6 como 2^1.
  • O primo 3 aparece em 3 como 3^1, em 6 como 3^1 e em 9 como 3^2. A maior potência é 3^2.
  • O primo 5 aparece só em 5 como 5^1.
    Então
mmc = 2^1 cdot 3^2 cdot 5^1 = 2 times 9 times 5 = 90

Passo 3

Agora sabemos que qualquer número que seja múltiplo de 3, 5, 6 e 9 ao mesmo tempo é múltiplo de 90.
Queremos o menor múltiplo de 90 que seja ≥100. Vamos listar os primeiros:
1·90 = 90 (ainda é 2 dígitos)
2·90 = 180 (já é 3 dígitos)
Logo, o menor múltiplo de 90 com 3 algarismos é 180.

Resposta

180

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