Qual é o menor número que devemos subtrair de 61.577, para que o resultado seja divisível por 5 e por 9?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é o menor número que devemos subtrair de 61.577 para que o resultado seja divisível por 5 e por 9?”
Conteúdo: testes de divisibilidade, restos e MMC (múltiplo comum).
O que vamos usar:
  • Teste de divisibilidade por 5 (números que terminam em 0 ou 5).
  • Teste de divisibilidade por 9 (soma dos dígitos múltipla de 9).
  • Conceito de resto (modular) e de MMC(5,9)=45 para garantir divisibilidade simultânea.

Passo 2

Teste de divisibilidade por 5:
Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.
61.577 termina em 7, então não é divisível.
O resto ao dividir 61.577 por 5 é
61.577 bmod 5 = 2
Isso quer dizer que, se eu subtrair 2, passo a ter um número terminando em 5: 61.575, que é divisível por 5.

Passo 3

Teste de divisibilidade por 9:
Um número é divisível por 9 se a soma dos seus dígitos for múltipla de 9.
Soma dos dígitos de 61.577:
6 + 1 + 5 + 7 + 7 = 26
26 não é múltiplo de 9; o resto ao dividir 26 por 9 é 8.
Isso significa que, para tornar 61.577 divisível por 9, eu teria que subtrair 8 (pois 26–8=18, que é múltiplo de 9).

Passo 4

Mas queremos um único valor a subtrair que faça o resultado ser divisível por 5 e por 9 ao mesmo tempo.
Quando um número é divisível simultaneamente por 5 e por 9, ele é divisível por MMC(5,9)=45.
Então basta calcular o resto de 61.577 ao dividir por 45 e subtrair esse resto:
61.577 bmod 45 = 17
(Para ver rápido: , e .)

Passo 5

Portanto, o menor número que precisamos subtrair de 61.577 para que o resultado seja múltiplo de 45 (logo divisível por 5 e 9) é 17.

Resposta

17

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