Se o número P é divisível por 9 e por 5, podemos afirmar que o número (P+315) também é? Por que?

Passo 1

Beleza, aqui a questão é de divisibilidade. Ela diz: “P é divisível por 9 e por 5. Será que P+315 também é divisível por 9 e por 5? Por quê?”
Então o conteúdo é regra de divisibilidade e mínimo múltiplo comum (MMC). Vamos precisar:
  • Saber que se um número é divisível por dois números, é divisível pelo MMC deles.
  • Verificar que 315 também é múltiplo desse MMC.
  • Concluir que a soma de múltiplos desse MMC continua sendo múltiplo dele.

Passo 2

Primeiro, como P é divisível por 9 e por 5, podemos escrever:
P = 45k e para alguns inteiros e .
Na verdade, isso significa que P é múltiplo de 9 e de 5. O MMC de 9 e 5 é 45, então dá pra dizer direto:
para algum inteiro .

Passo 3

Agora, vamos olhar o 315. Queremos ver se 315 também é múltiplo de 45.
  • Dividindo por 5: 315 = 45 cdot 7.
  • Dividindo por 9: .
    Como passou nas duas, o MMC (45) também divide 315. Posso escrever:

Passo 4

Já sabemos que
P = 45k
315 = 45cdot 7
Então a soma é
P + 315 = 45k + 45cdot7 = 45,(k + 7)
Isso mostra que é múltiplo de 45.

Passo 5

Se um número é múltiplo de 45, ele é, automaticamente, múltiplo de 9 e de 5 (porque ). Logo, satisfaz as duas divisibilidades.

Resposta

Sim. Como e 315 são múltiplos de 45, a soma também é múltiplo de 45. Logo, é divisível por 9 e por 5.

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