Qual é o menor número de elementos em um conjunto gerador de
se o considerarmos como espaço vetorial sobre (a)
; (b)
; (c)
? .
Passo 1
O enunciado pede o menor número de vetores necessários para gerar o espaço
quando o interpretamos como espaço vetorial sobre diferentes corpos:
,
e
. Em linguagem de álgebra linear, isso é exatamente a dimensão de
sobre cada corpo.
Passo 2
Para qualquer corpo
, um conjunto gerador mínimo de um espaço vetorial
tem cardinalidade igual à dimensão de
sobre
. Portanto, precisamos calcular
para
.
Passo 3
Quando
, o próprio
é o “espaço padrão” de dimensão 2. Logo
Passo 4
Quando
, vemos
como espaço vetorial real. Como
seguimos que
Passo 5
Quando
, sabemos que
é infinito não enumerável (é a cardinalidade do contínuo), e daí
Logo
Resposta
(a)
(b)
(c) cardinalidade do contínuo (infinito não enumerável)
(b)
(c) cardinalidade do contínuo (infinito não enumerável)