Qual é o menor número de elementos em um conjunto gerador de C^2 se o considerarmos como espaço vetorial sobre (a) C; (b) R; (c) Q ? .

Passo 1

O enunciado pede o menor número de vetores necessários para gerar o espaço C^2 quando o interpretamos como espaço vetorial sobre diferentes corpos: C, R e Q. Em linguagem de álgebra linear, isso é exatamente a dimensão de C^2 sobre cada corpo.

Passo 2

Para qualquer corpo K, um conjunto gerador mínimo de um espaço vetorial V tem cardinalidade igual à dimensão de V sobre K. Portanto, precisamos calcular
dimKl(C^2r)
para K=C,R,Q.

Passo 3

Quando K=C, o próprio C^2 é o “espaço padrão” de dimensão 2. Logo
dimCl(C^2r)=2

Passo 4

Quando K=R, vemos C como espaço vetorial real. Como
dimR(C)=2,
seguimos que
dimRl(C^2r) =;2;times;dimR(C) =;2times2 =;4

Passo 5

Quando K=Q, sabemos que dimQ(R) é infinito não enumerável (é a cardinalidade do contínuo), e daí
dimQ(C) =dimQl(R(i)r) =2;timesdimQ(R) ;=;contínuo í
Logo
dimQl(C^2r) =2;times;dimQ(C) =;contínuo í

Resposta

(a) 2
(b) 4
(c) cardinalidade do contínuo (infinito não enumerável)

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