Mostre que se
e
são inteiros positivos pares, então nenhuma potência de
é congruente a 1 módulo
.
Calcule o resto da divisão de
por 43 procedendo da seguinte maneira:
(a) Calcule a ordem de 6 módulo 43;
(b) Determine uma potência de 3 que seja congruente a -6 módulo 43;
(c) Use (a) e (b) para calcular o resto desejado.
Calcule o resto da divisão de
(a) Calcule a ordem de 6 módulo 43;
(b) Determine uma potência de 3 que seja congruente a -6 módulo 43;
(c) Use (a) e (b) para calcular o resto desejado.
Passo 1
O exercício tem duas partes. Primeiro, precisamos mostrar que, se
e
são inteiros positivos pares, então nenhuma potência de
pode ser congruente a
módulo
. Em seguida, devemos calcular o resto da divisão de
por
usando três subpassos:
- (a) encontrar a ordem de
módulo ; - (b) achar um expoente de
que dê módulo ; - (c) combinar (a) e (b) para obter o resto de
.
Passo 2
Mostramos que, se
e
são pares, então
. Como
divide todo
, temos
Logo
, o que impede
. Assim nenhuma potência de
pode ser congruente a
módulo
.
Passo 3
(a) Vamos achar a ordem de
em
. Queremos o menor
tal que
Calculando:
Logo a ordem de
é
.
Passo 4
(b) Procuramos
tal que
Calculando potências de
:
Portanto
.
Passo 5
(c) Escrevemos
de modo que
Como da parte (a) temos
, segue
e então
Logo
Resposta
Para
pares nenhuma potência de
vale
.
O resto de na divisão por
é
.
O resto de