A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é m(t)=(t-2)^2, sabendo que A é uma matriz 7 times 7

Passo 1

O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan, a menos de ordenamento dos blocos, de uma matriz complexa A de tamanho 7times7 cujo polinômio mínimo é
m(t)=(t-2)^2
O conteúdo envolve a classificação de formas de Jordan: sabemos que o único autovalor é 2 e que o maior tamanho de bloco de Jordan é igual ao expoente de (t-2) em m(t), ou seja, 2.

Passo 2

Em forma canônica de Jordan toda matriz com autovalor único 2 se escreve como soma direta de blocos Jk(2). O polinômio mínimo ser (t-2)^2 implica que
(i) não há blocos de tamanho maior que 2 e
(ii) existe pelo menos um bloco de tamanho exatamente 2.
Os demais blocos só podem ter tamanho 1 ou 2.

Passo 3

Sejam k o número de blocos de tamanho 2 e l o número de blocos de tamanho 1. A soma dos tamanhos dos blocos deve dar 7:
2k + l = 7,
com k>=1 (para garantir que o maior bloco seja de tamanho 2) e l>=0.

Passo 4

Resolvendo 2k + l = 7 para k>=1 inteiro, obtemos as soluções:
k=1,;l=5; k=2,;l=3; k=3,;l=1

Resposta

As possíveis formas canônicas de Jordan de A (ignorando a ordem dos blocos) são:
J2(2);oplus;J1(2);oplus;J1(2);oplus;J1(2);oplus;J1(2);oplus;J1(2)
J2(2);oplus;J2(2);oplus;J1(2);oplus;J1(2);oplus;J1(2)
J2(2);oplus;J2(2);oplus;J2(2);oplus;J1(2)

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