A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é
, sabendo que A é uma matriz
Passo 1
O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan, a menos de ordenamento dos blocos, de uma matriz complexa
de tamanho
cujo polinômio mínimo é
O conteúdo envolve a classificação de formas de Jordan: sabemos que o único autovalor é
e que o maior tamanho de bloco de Jordan é igual ao expoente de
em
, ou seja,
.
Passo 2
Em forma canônica de Jordan toda matriz com autovalor único
se escreve como soma direta de blocos
. O polinômio mínimo ser
implica que
(i) não há blocos de tamanho maior que e
(ii) existe pelo menos um bloco de tamanho exatamente .
Os demais blocos só podem ter tamanho ou
.
(i) não há blocos de tamanho maior que
(ii) existe pelo menos um bloco de tamanho exatamente
Os demais blocos só podem ter tamanho
Passo 3
Sejam
o número de blocos de tamanho
e
o número de blocos de tamanho
. A soma dos tamanhos dos blocos deve dar
:
com
(para garantir que o maior bloco seja de tamanho
) e
.
Passo 4
Resolvendo
para
inteiro, obtemos as soluções:
Resposta
As possíveis formas canônicas de Jordan de
(ignorando a ordem dos blocos) são: