Três fazendeiros cultivavam juntos todo o seu arroz e o dividiam igualmente entre si no tempo da colheita. Um certo ano cada um deles foi a um mercado diferente vender o seu arroz. Cada um destes mercados só comprava arroz em múltiplos de um peso padrão, que diferia em cada um dos mercados. O primeiro fazendeiro vendeu o seu arroz em um mercado onde o peso padrão era 87 kg . Ele vendeu tudo o que podia e voltou para casa com 18 kg de arroz. O segundo fazendeiro vendeu todo o arroz que podia em um merccado cujo peso padrão era de 170kg e voltou para casa com 58 kg . O terceiro fazendeiro vendeu todo o arroz que podia em um mercado cujo peso padrão era de 143kg e voltou (ao mesmo tempo que os outros dois) com 40kg. Qual a quantidade mínima de arroz que eles podem ter cultivado, no total?

Passo 1

O enunciado diz que três fazendeiros colheram juntos um total de arroz, digamos T, e dividiram igualmente entre si, de modo que cada um ficou com tfracT3. Depois cada um foi a um mercado diferente, que só compra lotes em múltiplos de um peso padrão, e voltou com resto de arroz. O conteúdo aqui é resolver um sistema de congruências (Teorema Chinês do Resto) para encontrar o menor T.

Passo 2

Seja
x = T3
o arroz que cada um levou ao seu mercado. As condições são:
x equiv 18 pmod87,
x equiv 58 pmod170,
x equiv 40 pmod143
Vamos aplicar o CRT passo a passo.

Passo 3

Primeiro combinamos
x equiv 18 pmod87 e x equiv 58 pmod170
Escrevemos x = 18 + 87k e impomos
18 + 87k equiv 58 pmod170 ;Longrightarrow; 87k equiv 40 pmod170
Como gcd(87,170)=1, encontramos o inverso de 87 módulo 170 que é 43. Logo
k equiv 43 cdot 40 equiv 20 pmod170
Assim o menor k é 20 e
x = 18 + 87cdot20 = 1758
O módulo combinado é 87times170=14790, logo
x equiv 1758 pmod14790

Passo 4

Agora combinamos
x equiv 1758 pmod14790 com x equiv 40 pmod143
Escrevemos x = 1758 + 14790,t e impomos
1758 + 14790,t equiv 40 pmod143
Calculamos 1758equiv42pmod143 e 14790equiv61pmod143, de modo que
61,t equiv 40 - 42 equiv 141 pmod143
O inverso de 61 módulo 143 é 68, logo
t equiv 68cdot141 equiv 7 pmod143
O menor t é 7 e, portanto,
x = 1758 + 14790cdot7 = 105288

Resposta

O total mínimo de arroz cultivado é
T = 3x = 3 times 105288 = 315864 kg

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