Três fazendeiros cultivavam juntos todo o seu arroz e o dividiam igualmente entre si no tempo da colheita. Um certo ano cada um deles foi a um mercado diferente vender o seu arroz. Cada um destes mercados só comprava arroz em múltiplos de um peso padrão, que diferia em cada um dos mercados. O primeiro fazendeiro vendeu o seu arroz em um mercado onde o peso padrão era 87 kg . Ele vendeu tudo o que podia e voltou para casa com 18 kg de arroz. O segundo fazendeiro vendeu todo o arroz que podia em um merccado cujo peso padrão era de 170kg e voltou para casa com 58 kg . O terceiro fazendeiro vendeu todo o arroz que podia em um mercado cujo peso padrão era de 143kg e voltou (ao mesmo tempo que os outros dois) com 40kg. Qual a quantidade mínima de arroz que eles podem ter cultivado, no total?
Passo 1
O enunciado diz que três fazendeiros colheram juntos um total de arroz, digamos
, e dividiram igualmente entre si, de modo que cada um ficou com
. Depois cada um foi a um mercado diferente, que só compra lotes em múltiplos de um peso padrão, e voltou com resto de arroz. O conteúdo aqui é resolver um sistema de congruências (Teorema Chinês do Resto) para encontrar o menor
.
Passo 2
Seja
o arroz que cada um levou ao seu mercado. As condições são:
Vamos aplicar o CRT passo a passo.
Passo 3
Primeiro combinamos
Escrevemos
e impomos
Como
, encontramos o inverso de
módulo
que é
. Logo
Assim o menor
é
e
O módulo combinado é
, logo
Passo 4
Agora combinamos
Escrevemos
e impomos
Calculamos
e
, de modo que
O inverso de
módulo
é
, logo
O menor
é
e, portanto,
Resposta
O total mínimo de arroz cultivado é