Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
[c1 2 -1],[c1 -2 3],[c3 -2 5]

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3 e pede para verificar se são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Usaremos o critério do determinante de uma matriz 3times3: se detneq 0, então o conjunto é LI; se det=0, então é LD, e nesse caso exibiremos uma combinação linear não trivial que anula os vetores.

Passo 2

Montamos a matriz A cujas colunas são os vetores dados:
A = 1 & 1 & 3 2 & -2 & -2 -1 & 3 & 5
Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet-2 & -23 & 5 - 1cdotdet2 & -2-1 & 5 + 3cdotdet2 & -2-1 & 3
Os menores são
det-2 & -23 & 5 = -10 + 6 = -4, det2 & -2-1 & 5 = 10 - 2 = 8, det2 & -2-1 & 3 = 6 - 2 = 4,
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det(A) = (-4) - 8 + 3cdot4 = -4 - 8 + 12 = 0

Passo 3

Como
Isso gera o sistema
Da segunda e terceira equações obtemos . Tomando e , ou seja,

Passo 4

A existência dessa combinação linear não trivial confirma que o conjunto de vetores é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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