A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é p(t)=(t+1)^2(t-3)^4(t-5)^4 e cujo polinômio mínimo é m(t)= (t-3)^3(t-5)^3(t+1)^2

Passo 1

O enunciado dá o polinômio característico
p(t)=(t+1)^2(t-3)^4(t-5)^4
e o polinômio mínimo
m(t)=(t+1)^2(t-3)^3(t-5)^3
Em teoria de Jordan, o expoente de cada fator (t-lambda) em m(t) é igual ao tamanho do maior bloco de Jordan associado ao autovalor lambda. Para cada autovalor lambda devemos particionar sua multiplicidade algébrica em blocos cuja soma de tamanhos seja essa multiplicidade, respeitando que o maior bloco tenha tamanho igual ao expoente de (t-lambda) em m(t).

Passo 2

Para lambda=-1: a multiplicidade algébrica é 2 e o expoente em m(t) é 2. Logo o maior bloco deve ter tamanho 2 e a única partição de 2 que contém um bloco de tamanho 2 é
2
Isto é, há um único bloco de Jordan J2(-1).

Passo 3

Para lambda=3: a multiplicidade algébrica é 4 e o expoente em m(t) é 3. Devemos particionar 4 em blocos de tamanho no máximo 3, com pelo menos um bloco de tamanho 3. A única partição possível é
3+1,
isto é, um bloco J3(3) e um bloco J1(3).

Passo 4

Para lambda=5: analogamente, a multiplicidade algébrica é 4 e o expoente em m(t) é 3. A única partição de 4 que atende é
3+1,
ou seja, um bloco J3(5) e um bloco J1(5).

Resposta

A forma canônica de Jordan (até ordenamento dos blocos) é
J2(-1);oplus;J3(3);oplus;J1(3);oplus;J3(5);oplus;J1(5)

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