A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é p(t)=(t-3)^4(t-5)^4(t+1)^3 e cujo polinômio mínimo é m(t)= (t-3)^2(t-5)^3(t+1)

Passo 1

O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan (JCF) de uma matriz A sobre C cujo polinômio característico é
p(t)=(t-3)^4(t-5)^4(t+1)^3
e cujo polinômio mínimo é
m(t)=(t-3)^2(t-5)^3(t+1)
Para resolver, usamos que para cada valor próprio lambda de A:
  1. A soma dos tamanhos dos blocos de Jordan em lambda é a multiplicidade algébrica (expoente em p(t)).
  2. O maior tamanho de bloco de Jordan em lambda é o expoente de (t-lambda) em m(t).

Passo 2

Analisando lambda=3: multiplicidade algébrica 4 e expoente em m(t) igual a 2. Logo os blocos têm tamanho <=2 e pelo menos um de tamanho exatamente 2. As partições de 4 com partes <=2 e contendo um 2 são
(2,2) e (2,1,1)

Passo 3

Analisando lambda=5: multiplicidade algébrica 4 e expoente em m(t) igual a 3. Logo blocos de tamanho <=3 e ao menos um de tamanho 3. A única partição de 4 que satisfaz é
(3,1)

Passo 4

Analisando lambda=-1: multiplicidade algébrica 3 e expoente em m(t) igual a 1. Logo todos os blocos têm tamanho <=1, isto é, três blocos de tamanho 1:
(1,1,1)

Passo 5

Combinando as escolhas para cada valor próprio, obtemos exatamente duas formas canônicas de Jordan (ignorando a ordem dos blocos):
Forma A:
diagl(J2(3),,J2(3),;J3(5),,J1(5),;J1(-1),,J1(-1),,J1(-1)r)
Forma B:
diagl(J2(3),,J1(3),,J1(3),;J3(5),,J1(5),;J1(-1),,J1(-1),,J1(-1)r)

Resposta

As duas formas canônicas de Jordan são
diagl(J2(3),J2(3),J3(5),J1(5),J1(-1),J1(-1),J1(-1)r)
e
diagl(J2(3),J1(3),J1(3),J3(5),J1(5),J1(-1),J1(-1),J1(-1)r)

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