A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é m(t)=(t-5)^3 e o grau do polinômio característico é 8

Passo 1

O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa A de ordem 8 cujo polinômio mínimo é
m(t) = (t-5)^3
e cujo polinômio característico tem grau 8.
Conteúdo: teoria de forma de Jordan, em que o polinômio mínimo indica o tamanho do maior bloco de Jordan (aqui igual a 3) e o polinômio característico indica a soma dos tamanhos de todos os blocos (aqui 8).

Passo 2

Como só há o valor próprio 5, o polinômio característico é
chiA(t) = (t-5)^8
Na forma de Jordan, só aparecem blocos de Jordan Jk(5) com k<=3 e deve haver pelo menos um bloco de tamanho exatamente 3 (pois o grau de m(t) é 3).

Passo 3

Seja a o número de blocos J3(5), b o número de blocos J2(5) e c o número de blocos J1(5). A condição de soma dos tamanhos é
3a + 2b + c = 8,
com a>=1, b>=0, c>=0.

Passo 4

Resolvendo em inteiros não negativos:
  • Para a=1: 2b + c = 5 dá soluções (b,c)=(0,5),(1,3),(2,1).
  • Para a=2: 2b + c = 2 (b,c)=(0,2),(1,0).
    Não há solução com a>=3 (ultrapassa 8).

Passo 5

Cada solução (a,b,c) corresponde a uma forma de Jordan
underbraceJ3(5)opluscdotsoplus J3(5)a vezes ;oplus; underbraceJ2(5)opluscdotsoplus J2(5)b vezes ;oplus; underbraceJ1(5)opluscdotsoplus J1(5)c vezes

Resposta

As cinco formas canônicas de Jordan são:
  1. J3(5)oplus 5,J1(5)
  2. J3(5)oplus J2(5)oplus 3,J1(5)
  3. J3(5)oplus 2,J2(5)oplus J1(5)
  4. 2,J3(5)oplus 2,J1(5)
  5. 2,J3(5)oplus J2(5)

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