A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é
e o grau do polinômio característico é 8
Passo 1
O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa
de ordem
cujo polinômio mínimo é
e cujo polinômio característico tem grau
.
Conteúdo: teoria de forma de Jordan, em que o polinômio mínimo indica o tamanho do maior bloco de Jordan (aqui igual a ) e o polinômio característico indica a soma dos tamanhos de todos os blocos (aqui
).
Conteúdo: teoria de forma de Jordan, em que o polinômio mínimo indica o tamanho do maior bloco de Jordan (aqui igual a
Passo 2
Como só há o valor próprio
, o polinômio característico é
Na forma de Jordan, só aparecem blocos de Jordan
com
e deve haver pelo menos um bloco de tamanho exatamente
(pois o grau de
é
).
Passo 3
Seja
o número de blocos
,
o número de blocos
e
o número de blocos
. A condição de soma dos tamanhos é
com
,
,
.
Passo 4
Resolvendo em inteiros não negativos:
- Para
: dá soluções . - Para
: dá .
Não há solução com(ultrapassa ).
Passo 5
Cada solução
corresponde a uma forma de Jordan
Resposta
As cinco formas canônicas de Jordan são:
-
J3(5)oplus 5,J1(5) -
J3(5)oplus J2(5)oplus 3,J1(5) -
J3(5)oplus 2,J2(5)oplus J1(5) -
2,J3(5)oplus 2,J1(5) -
2,J3(5)oplus J2(5)