Resolver os seguintes sistemas de congruências lineares:
cx equiv 8(bmod 5) x equiv 5(bmod 3) x equiv 11(bmod 7) x equiv 2(bmod 4)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de congruências
x equiv 8 pmod5, x equiv 5 pmod3, x equiv 11 pmod7, x equiv 2 pmod4
O conteúdo aplicado aqui é o Teorema Chinês dos Restos, que diz que se os módulos são dois a dois coprimos então existe solução única módulo o produto dos módulos. Vamos verificar a coprimalidade, calcular o produto dos módulos, encontrar inversas e montar a solução.

Passo 2

Primeiro reduzimos cada resíduo ao seu menor representante positivo:
e mantemos
Os módulos (5,3,7,4] são coprimos dois a dois, pois não há divisor comum maior que 1 em nenhum par.

Passo 3

Calculamos o produto total das bases
M = 5 times 3 times 7 times 4 = 420
Em seguida, para cada congruência xequiv aipmodni definimos
mi = Mni
Logo
m1 = 4205 = 84, m2 = 4203 = 140, m3 = 4207 = 60, m4 = 4204 = 105

Passo 4

Precisamos agora das inversas ti tais que
mi,ti equiv 1 pmodni
Usando algoritmo de Euclides ou tentativa, encontramos:
84 equiv 4 pmod5implies t1=4, 140 equiv 2 pmod3implies t2=2,
60 equiv 4 pmod7implies t3=2, 105 equiv 1 pmod4implies t4=1

Passo 5

Pela fórmula do Teorema Chinês dos Restos, a solução é
x = sumi=1^4 ai,mi,ti = 3cdot84cdot4 ;+;2cdot140cdot2;+;4cdot60cdot2;+;2cdot105cdot1
Calculando cada parcela:
3cdot84cdot4 = 1008, 2cdot140cdot2 = 560, 4cdot60cdot2 = 480, 2cdot105cdot1 = 210,
logo
x = 1008 + 560 + 480 + 210 = 2258
Como procuramos solução módulo M=420, reduzimos 2258 bmod 420:
2258 - 5cdot420 = 2258 - 2100 = 158
Portanto a solução geral é
x equiv 158 pmod420

Resposta

xequiv 158pmod420

Exercícios relacionados