Resolver os seguintes sistemas de congruências lineares:
cx equiv 8(bmod 26) x equiv 11(bmod 33)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de congruências
x equiv 8 pmod26, x equiv 11 pmod33,
ou seja, achar um inteiro x que satisfaça as duas condições simultaneamente. Como gcd(26,33)=1, podemos aplicar o Teorema Chinês dos Restos e obter uma solução única módulo 26cdot33=858.

Passo 2

Da primeira congruência temos
x equiv 8 pmod26 Longrightarrow x = 8 + 26,t,
para algum tinZ.

Passo 3

Substituindo em x equiv 11pmod33
8 + 26,t equiv 11 pmod33 ;Longrightarrow; 26,t equiv 3 pmod33

Passo 4

Para resolver 26,tequiv3pmod33 precisamos do inverso de 26 módulo 33. Usamos o algoritmo de Euclides estendido:
33 &= 1cdot26 + 7, 26 &= 3cdot7 + 5, 7 &= 1cdot5 + 2, 5 &= 2cdot2 + 1
Agora voltamos para expressar 1 como combinação linear de 26 e 33:
1 &= 5 - 2cdot2, 2 &= 7 - 1cdot5, 5 &= 26 - 3cdot7, 7 &= 33 - 1cdot26
Substituindo em cascata obtemos
1 = 14cdot26 - 11cdot33,
logo 14 é o inverso de 26 módulo 33.

Passo 5

Multiplicando 26,tequiv3 pelo inverso 14 temos
t equiv 14cdot3 = 42 equiv 9 pmod33

Passo 6

Substituindo t=9 em x=8+26,t resulta
x = 8 + 26cdot9 = 8 + 234 = 242
Como a solução é única módulo 858, a família de soluções é
x = 242 + 858,k, kinZ

Resposta

x equiv 242 pmod858

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