Use a recíproca do Teorema de Wilson para mostrar que 19 é um número primo.

Passo 1

O enunciado pede para usar a recíproca do Teorema de Wilson, que diz: se um inteiro n>1 satisfaz
(n-1)!equiv -1pmod n,
então n é primo. Vamos aplicar isso em n=19.

Passo 2

Consideramos o fatorial
18! = 1cdot2cdot3cdots17cdot18,
e queremos mostrar que ele é congruente a -1 módulo 19.

Passo 3

No grupo multiplicativo Z19^* os elementos 1,2,dots,18 podem ser agrupados em pares (a,b) tais que
acdot bequiv1pmod19,
pois b é o inverso de a. Cada par distinto contribui com 1 ao produto total.

Passo 4

Os únicos elementos que são inversos de si mesmos, ou seja satisfazem
a^2equiv1pmod19,
são aequiv1 e aequiv18, já que em módulo primo as soluções de a^2equiv1 são pm1.

Passo 5

Ao emparelhar todos os elementos de 1 a 18, os pares distintos dão produto 1 e sobramos com 1 e 18. Logo,
18!equiv1cdot18equiv18equiv-1pmod19

Passo 6

Pela recíproca do Teorema de Wilson, como
18!equiv-1pmod19,
concluímos que 19 é primo.

Resposta

19 é um número primo.

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