Use a recíproca do Teorema de Wilson para mostrar que 19 é um número primo.
Passo 1
O enunciado pede para usar a recíproca do Teorema de Wilson, que diz: se um inteiro
satisfaz
então
é primo. Vamos aplicar isso em
.
Passo 2
Consideramos o fatorial
e queremos mostrar que ele é congruente a
módulo
.
Passo 3
No grupo multiplicativo
os elementos
podem ser agrupados em pares
tais que
pois
é o inverso de
. Cada par distinto contribui com
ao produto total.
Passo 4
Os únicos elementos que são inversos de si mesmos, ou seja satisfazem
são
e
, já que em módulo primo as soluções de
são
.
Passo 5
Ao emparelhar todos os elementos de
a
, os pares distintos dão produto
e sobramos com
e
. Logo,
Passo 6
Pela recíproca do Teorema de Wilson, como
concluímos que
é primo.