A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é , sabendo que A é uma matriz
Passo 1
O enunciado diz que é uma matriz sobre cujo polinômio mínimo é
Isso implica que o único autovalor é e que o maior tamanho de bloco de Jordan será . Logo cada bloco de Jordan tem tamanho em , pelo menos um bloco de tamanho deve aparecer (para que ) e a soma dos tamanhos dos blocos é .
Passo 2
Sejam o número de blocos de Jordan de tamanho , respectivamente. Então temos o sistema
Passo 3
Resolvendo em não-negativos e com a3>=1:
Caso a3=2: sobra 8-3cdot2=2, então
a1 + 2a2 = 2
cujas soluções inteiras não-negativas são
(a2,a1) = (1,0)ou(0,2)
Caso a3=1: sobra 8-3=5, então
a1 + 2a2 = 5
cujas soluções não-negativas são
(a2,a1) = (2,1),;(1,3),;(0,5)
Não há outros casos com a3>=1 que somem a 8.
Passo 4
Cada solução (a1,a2,a3) dá uma forma canônica de Jordan (sem ordenar os blocos). São cinco: