A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é m(t)=(t+3)^3, sabendo que A é uma matriz 8 times 8

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 8times8 sobre C cujo polinômio mínimo é
m(t)=(t+3)^3
Isso implica que o único autovalor é -3 e que o maior tamanho de bloco de Jordan será 3. Logo cada bloco de Jordan tem tamanho em 1,2,3, pelo menos um bloco de tamanho 3 deve aparecer (para que deg m=3) e a soma dos tamanhos dos blocos é 8.

Passo 2

Sejam a1,a2,a3 o número de blocos de Jordan de tamanho 1,2,3, respectivamente. Então temos o sistema
a1 + 2a2 + 3a3 = 8, a3 >= 1, a1,a2,a3inZ>=0

Passo 3

Resolvendo em não-negativos e com a3>=1:
  • Caso a3=2: sobra 8-3cdot2=2, então
    a1 + 2a2 = 2
    cujas soluções inteiras não-negativas são
    (a2,a1) = (1,0)ou(0,2)
  • Caso a3=1: sobra 8-3=5, então
    a1 + 2a2 = 5
    cujas soluções não-negativas são
    (a2,a1) = (2,1),;(1,3),;(0,5)
Não há outros casos com a3>=1 que somem a 8.

Passo 4

Cada solução (a1,a2,a3) dá uma forma canônica de Jordan (sem ordenar os blocos). São cinco:
  1. a3=2,;a2=1,;a1=0:
J3(-3)oplus J3(-3)oplus J2(-3)
  1. a3=2,;a2=0,;a1=2:
J3(-3)oplus J3(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)
  1. a3=1,;a2=2,;a1=1:
J3(-3)oplus J2(-3)oplus J2(-3)oplus J1(-3)
  1. a3=1,;a2=1,;a1=3:
J3(-3)oplus J2(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)
  1. a3=1,;a2=0,;a1=5:
J3(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)

Resposta

As cinco formas canônicas de Jordan (com autovalor -3) são:
&J3(-3)oplus J3(-3)oplus J2(-3), &J3(-3)oplus J3(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3), &J3(-3)oplus J2(-3)oplus J2(-3)oplus J1(-3), &J3(-3)oplus J2(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3), &J3(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)

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