- Prove que existe um único plano contendo duas retas paralelas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas retas paralelas
e
em um espaço euclidiano, existe exatamente um plano que as contenha. Para isso usaremos dois resultados clássicos de geometria:
Passo 2
Sejam
e
as retas paralelas. Como são paralelas e distintas, não se intersectam. Escolhemos dois pontos distintos
e um ponto
. Como
não intersecta
, o ponto
não está sobre a reta
, logo
,
e
são não colineares.
Pelo teorema de existência e unicidade de plano, existe um único plano que contém os três pontos
,
e
. Como
é a reta que passa por
e
, segue que
.
Pelo teorema de existência e unicidade de plano, existe um único plano
Passo 3
Agora,
é paralela a
e contém
. Pelo segundo resultado citado, qualquer reta paralela a uma reta de
e que intersecte
fica inteiramente em
. Logo
. Assim provamos a existência de um plano
contendo
e
.
Passo 4
Para a unicidade, suponha que exista outro plano
contendo
e
. Então
e
. Como
,
e
são não colineares, o plano que os contém é único, ou seja,
.
Resposta
Logo, existe um único plano que contém duas retas paralelas.