1. Prove que existe um único plano contendo duas retas paralelas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas retas paralelas ell1 e ell2 em um espaço euclidiano, existe exatamente um plano que as contenha. Para isso usaremos dois resultados clássicos de geometria:
1. Por três pontos não colineares passa um único plano.
2. Se uma reta m é paralela a uma reta n contida em um plano Pi e m intersecta Pi num ponto, então msubsetPi.

Passo 2

Sejam ell1 e ell2 as retas paralelas. Como são paralelas e distintas, não se intersectam. Escolhemos dois pontos distintos A,Binell1 e um ponto Cinell2. Como ell2 não intersecta ell1, o ponto C não está sobre a reta AB, logo A, B e C são não colineares.
Pelo teorema de existência e unicidade de plano, existe um único plano Pi que contém os três pontos A, B e C. Como ell1 é a reta que passa por A e B, segue que ell1subsetPi.

Passo 3

Agora, ell2 é paralela a ell1 e contém CinPi. Pelo segundo resultado citado, qualquer reta paralela a uma reta de Pi e que intersecte Pi fica inteiramente em Pi. Logo ell2subsetPi. Assim provamos a existência de um plano Pi contendo ell1 e ell2.

Passo 4

Para a unicidade, suponha que exista outro plano Pi' contendo ell1 e ell2. Então A,Binell1subsetPi' e Cinell2subsetPi'. Como A, B e C são não colineares, o plano que os contém é único, ou seja, Pi'=Pi.

Resposta

Logo, existe um único plano que contém duas retas paralelas.

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