A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é
, sabendo que a multiplicidade algébrica do autovalor 1 é 5 e que A é uma matriz
Passo 1
O enunciado pede as formas canônicas de Jordan de uma matriz
cujo polinômio mínimo é
sabendo que a multiplicidade algébrica do autovalor
é
.
Para resolver vamos usar que
Para resolver vamos usar que
- o expoente de
em é o tamanho do maior bloco de Jordan para ; - a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan de
é a multiplicidade algébrica de .
Passo 2
Como
e o autovalor
tem multiplicidade algébrica
, o autovalor
deve ter multiplicidade algébrica
. Pelo fator
em
, o maior bloco de Jordan para
tem tamanho
. Como a soma dos tamanhos desses blocos deve ser
, a única partição possível é um bloco de tamanho
. Logo, para
temos
Passo 3
Para o autovalor
a multiplicidade algébrica é
e o fator
em
indica que o maior bloco de Jordan para
tem tamanho
. Logo, todos os blocos têm tamanho
e pelo menos um bloco de tamanho
. Seja
o número de blocos de tamanho
e
o número de blocos de tamanho
. Temos
As soluções inteiras são
-
, , ou -
, .
Passo 4
Portanto, as possíveis disposições dos blocos de Jordan para o autovalor
são
Combinando com o bloco de
, as duas formas canônicas de Jordan (ignorando a ordem dos blocos) são: