A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é m(t)=(t+7)^3 cdot(t-1)^2, sabendo que a multiplicidade algébrica do autovalor 1 é 5 e que A é uma matriz 8 times 8

Passo 1

O enunciado pede as formas canônicas de Jordan de uma matriz Ain M8(C) cujo polinômio mínimo é
m(t)=(t+7)^3,(t-1)^2,
sabendo que a multiplicidade algébrica do autovalor 1 é 5.
Para resolver vamos usar que
  1. o expoente de (t-lambda) em m(t) é o tamanho do maior bloco de Jordan para lambda;
  2. a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan de lambda é a multiplicidade algébrica de lambda.

Passo 2

Como dim A=8 e o autovalor 1 tem multiplicidade algébrica 5, o autovalor -7 deve ter multiplicidade algébrica 8-5=3. Pelo fator (t+7)^3 em m(t), o maior bloco de Jordan para -7 tem tamanho 3. Como a soma dos tamanhos desses blocos deve ser 3, a única partição possível é um bloco de tamanho 3. Logo, para -7 temos
J3(-7)

Passo 3

Para o autovalor 1 a multiplicidade algébrica é 5 e o fator (t-1)^2 em m(t) indica que o maior bloco de Jordan para 1 tem tamanho 2. Logo, todos os blocos têm tamanho <=2 e pelo menos um bloco de tamanho 2. Seja k o número de blocos de tamanho 2 e r o número de blocos de tamanho 1. Temos
2k + r = 5, k>=1,;r>=0
As soluções inteiras são
  • k=1, r=3, ou
  • k=2, r=1.

Passo 4

Portanto, as possíveis disposições dos blocos de Jordan para o autovalor 1 são
J2(1)oplus J1(1)oplus J1(1)oplus J1(1) ou J2(1)oplus J2(1)oplus J1(1)
Combinando com o bloco de -7, as duas formas canônicas de Jordan (ignorando a ordem dos blocos) são:

Resposta

diagl(J3(-7),,J2(1),,J1(1),,J1(1),,J1(1)r),
diagl(J3(-7),,J2(1),,J2(1),,J1(1)r)

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