Mostrar que se m d c(a, 35)=1 então a^12 equiv 1(bmod 35).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sempre que gcd(a,35)=1, vale
a^12equiv 1pmod35
Aqui vamos usar que 35=5cdot7, o Teorema de Fermat para cada fator primo e depois o fato de que um número é 1 módulo 35 se e somente se for 1 módulo 5 e módulo 7 simultaneamente (CRT).

Passo 2

Como gcd(a,35)=1 implica gcd(a,5)=1, pelo Pequeno Teorema de Fermat
a^4equiv 1pmod5
Elevando ambos os lados ao cubo, obtemos
a^12 = l(a^4r)^3 equiv 1^3 = 1 pmod5

Passo 3

De modo semelhante, gcd(a,35)=1 implica gcd(a,7)=1, e então pelo Pequeno Teorema de Fermat
a^6equiv 1pmod7
Elevando ambos os lados ao quadrado, vem
a^12 = l(a^6r)^2 equiv 1^2 = 1 pmod7

Passo 4

Já sabemos que
a^12equiv 1pmod5 e a^12equiv 1pmod7
Pelo Teorema Chinês do Resto, isso implica
a^12equiv 1pmod35

Resposta

a^12equiv 1pmod35 quando gcd(a,35)=1.

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