1. O mercado de alumínio primário tem Q_{D}=120-2 P e Q_{S}=3 P-30. Um subsídio de s=4 por unidade é concedido aos produtores.
    (a) Determine o novo preço de equilíbrio e as quantidades.
    (b) Avalie o efeito do subsídio sobre o excedente do consumidor e do produtor.
    (c) Calcule o custo fiscal do programa.

Passo 1

O enunciado fornece as funções de demanda e oferta do mercado de alumínio primário e diz que um subsídio por unidade s=4 é concedido aos produtores. As perguntas são:
(a) Determinar o novo preço de equilíbrio e as quantidades.
(b) Avaliar o efeito do subsídio sobre o excedente do consumidor e do produtor.
(c) Calcular o custo fiscal do programa.
Informações dadas:
  • Demanda: Q_{D}=120-2P.
  • Oferta: Q_{S}=3P-30.
  • Subsídio por unidade aos produtores: s=4.
Observação útil (vamos usar isso na resolução): antes do subsídio o preço P é o preço recebido pelos produtores e também o preço pago pelos consumidores. Com o subsídio, se chamarmos P_{c} o preço pago pelos consumidores e P_{p} o preço recebido pelos produtores, vale a relação
P_{p}=P_{c}+s.
A nova condição de equilíbrio será Q_{D}(P_{c})=Q_{S}(P_{p}). A resolução de fato começa no próximo passo.

Passo 2

Calcular o equilíbrio inicial (sem subsídio) — isso serve de referência para comparar efeitos posteriores.
Igualando oferta e demanda:
120-2P = 3P-30.
Resolver para P:
120+30 = 5P \quad\Rightarrow\quad 150=5P \quad\Rightarrow\quad P=30.
Quantidade de equilíbrio inicial:
Q = 120 - 2\cdot 30 = 120 - 60 = 60.
Resumo inicial:
  • Preço inicial: P^{0}=30.
  • Quantidade inicial: Q^{0}=60.

Passo 3

Entender como o subsídio afeta a oferta e montar a equação para o novo equilíbrio.
Explicação didática: o subsídio de s por unidade pago ao produtor faz com que, para cada unidade vendida, o produtor receba o preço de mercado mais s. Logo, se os consumidores pagam P_{c}, o produtor recebe P_{p}=P_{c}+s. A função oferta original Q_{S}=3P-30 usa o preço recebido pelo produtor como argumento. Assim, com subsídio o lado da oferta em termos do preço que o consumidor paga fica:
Q_{S} = 3(P_{p})-30 = 3(P_{c}+s)-30.
Com s=4 isso fica
Q_{S}=3(P_{c}+4)-30=3P_{c}-18.
O equilíbrio com subsídio satisfaz:
Q_{D}(P_{c}) = Q_{S}(P_{c}) \quad\Rightarrow\quad 120-2P_{c} = 3P_{c}-18.

Passo 4

Resolver a equação de equilíbrio com subsídio para encontrar o preço pago pelos consumidores P_{c}, o preço recebido pelos produtores P_{p} e a quantidade Q.
Da igualdade:
120-2P_{c}=3P_{c}-18 \quad\Rightarrow\quad 120+18=5P_{c} \quad\Rightarrow\quad 138=5P_{c}.
Logo
P_{c}=\frac{138}{5}=27,6.
Preço recebido pelos produtores:
P_{p}=P_{c}+s=27,6+4=31,6.
Quantidade de equilíbrio com subsídio:
Q=120-2P_{c}=120-2\cdot 27,6=120-55,2=64,8.

Passo 5

Calcular os excedentes antes do subsídio (para comparar).
Primeiro, escrevemos as formas inversas das curvas (útil para áreas):
  • Demanda inversa: P_D(Q)=60-\dfrac{Q}{2} (porque Q=120-2P implica P=60-\tfrac{Q}{2}).
  • Oferta inversa: P_S(Q)=\dfrac{Q}{3}+10 (porque Q=3P-30 implica P=\tfrac{Q+30}{3}=\tfrac{Q}{3}+10).
Interceptos relevantes:
  • Preço máximo na demanda (quando Q=0): P_{max}=60.
  • Preço mínimo na oferta (quando Q=0): P_{min}=10.
Excedente do consumidor inicial CS^{0} (área do triângulo entre a demanda e o preço P^{0}=30):
CS^{0}=\frac{1}{2}\cdot Q^{0}\cdot (P_{max}-P^{0})=\frac{1}{2}\cdot 60\cdot(60-30)=\tfrac{1}{2}\cdot 60\cdot 30=900.
Excedente do produtor inicial PS^{0} (área do triângulo entre o preço P^{0}=30 e a curva de oferta):
PS^{0}=\frac{1}{2}\cdot Q^{0}\cdot (P^{0}-P_{min})=\frac{1}{2}\cdot 60\cdot(30-10)=\tfrac{1}{2}\cdot 60\cdot 20=600.

Passo 6

Calcular os excedentes após o subsídio.
Após o subsídio:
  • Preço pago pelos consumidores: P_{c}=27,6.
  • Preço recebido pelos produtores: P_{p}=31,6.
  • Quantidade: Q=64,8.
Excedente do consumidor após CS^{1}:
CS^{1}=\frac{1}{2}\cdot Q\cdot (P_{max}-P_{c})=\frac{1}{2}\cdot 64,8\cdot(60-27,6).
Calcular numericamente:
60-27,6=32,4,\quad 64,8\cdot 32,4 = 2099,52,
logo
CS^{1}=\tfrac{1}{2}\cdot 2099,52 = 1049,76.
Excedente do produtor após PS^{1}:
Produtores recebem P_{p}=31,6 e a curva de oferta tem intercepto 10, então
PS^{1}=\frac{1}{2}\cdot Q\cdot (P_{p}-P_{min})=\frac{1}{2}\cdot 64,8\cdot(31,6-10).
Calcular numericamente:
31,6-10=21,6,\quad 64,8\cdot 21,6 = 1399,68,
logo
PS^{1}=\tfrac{1}{2}\cdot 1399,68 = 699,84.

Passo 7

Avaliar as variações dos excedentes e interpretar.
Variação do excedente do consumidor:
\Delta CS = CS^{1}-CS^{0}=1049,76-900=149,76.
Variação do excedente do produtor:
\Delta PS = PS^{1}-PS^{0}=699,84-600=99,84.
Interpretação: consumidores pagam menos ( 27,6 em vez de 30), por isso ganham um excedente maior. Produtores recebem mais ( 31,6 em vez de 30) e vendem uma quantidade maior, então também veem seu excedente aumentar. Parte do ganho para produtores vem do subsídio pago pelo governo.

Passo 8

Calcular o custo fiscal do programa e o excesso de carga (DWL).
Custo fiscal (gasto do governo) é o subsídio por unidade multiplicado pela quantidade vendida:
\text{Custo fiscal} = s\cdot Q = 4\cdot 64,8 = 259,2.
Mudança no excedente total privado (CS+PS):
\Delta (CS+PS)=\Delta CS + \Delta PS = 149,76 + 99,84 = 249,6.
A diferença entre o custo fiscal e o aumento do excedente privado é a perda líquida de bem-estar (deadweight loss, DWL):
\text{DWL} = \text{Custo fiscal} - \Delta (CS+PS) = 259,2 - 249,6 = 9,6.
Interpretação: o governo gasta 259,2, os consumidores e produtores ganham juntos 249,6, e sobra uma perda líquida de 9,6 — isto é a ineficiência introduzida pelo subsídio.

Resposta

(a) Preço pago pelos consumidores P_{c}=27,6; preço recebido pelos produtores P_{p}=31,6; quantidade Q=64,8.
(b) Excedente do consumidor: de 900 para 1049,76 (variação +149,76). Excedente do produtor: de 600 para 699,84 (variação +99,84). (Ganho total privado +249,6; deadweight loss =9,6.)
(c) Custo fiscal do programa: 259,2.

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