Um mergulhador chegou até um antigo navio, que naufragou há alguns anos, cheio de ouro guardado num cofre. O mergulhador tem o segredo do cofre, cuja porta é a casca esférica de raio R dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, \quad z \geq 0
Se pressão na origem é p_{0}, qual o momento da força exercida pela água com relação à dobradiça do cofre, posicionada no ponto ( -R, 0,0 ) ? Suponha que a densidade da água seja \rho (constante e dada) e que \mathbf{g}=-g \mathbf{k}.
Passo 1
O enunciado descreve uma casca hemisférica de raio R, dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},\quad z\ge0,
sujeita à pressão da água cujo valor no ponto de profundidade z é
p(z)=p_{0}-\rho g\,z,
pois \nabla p=\rho\,\mathbf g=-\rho g\,\mathbf k. A dobradiça está no ponto (-R,0,0). Queremos o momento da força resultante da pressão em relação a esse ponto, ou seja