1. Um mergulhador em um lago, abaixo da superfície da água, levanta os olhos a 27^circ a partir da vertical para ver uma bóia salva-vidas que flutua na superfície. Através do centro da bóia pode ser visto o topo de uma chaminé que sabemos estar a 98 m de altura. Qual a distância entre a base da chaminé e o salva-vidas?

Passo 1

Beleza! Vamos lá resumir o que o exercício está pedindo. Temos um mergulhador que está debaixo da água em um lago. Ele olha para cima formando um ângulo de 27^circ a partir da vertical e vê uma bóia salva-vidas na superfície. Além disso, através do centro dessa bóia, ele consegue ver o topo de uma chaminé que tem 98 metros de altura. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a distância horizontal entre a base dessa chaminé e a bóia salva-vidas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente envolvendo ângulos e distâncias em triângulos retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que a linha de visão do mergulhador, formando um ângulo de 27^circ com a vertical, cria um triângulo retângulo onde:
  • O lado oposto ao ângulo de 27^circ é a distância horizontal que queremos encontrar.
  • O lado adjacente é a profundidade da água onde o mergulhador está.
  • A hipotenusa é a linha de visão do mergulhador até a bóia.
No entanto, o exercício nos dá a altura da chaminé, que é de 98 metros. Essa altura representa a distância vertical da água até o topo da chaminé.

Passo 3

Agora, como a chaminé tem 98 metros de altura e o mergulhador está debaixo da água olhando para a bóia, podemos considerar que essa altura de 98 metros é a diferença de nível entre a bóia e o topo da chaminé.
Vamos chamar a distância horizontal que queremos encontrar de d.

Passo 4

Utilizaremos a tangente do ângulo para relacionar a altura da chaminé com a distância horizontal. A fórmula da tangente é:
tan(theta) = opostoadjacente
Onde:
  • theta é o ângulo de 27^circ
  • O lado oposto é a altura da chaminé, que é 98 metros
  • O lado adjacente é a distância horizontal d que queremos encontrar

Passo 5

Rearranjando a fórmula para encontrar d:
d = opostotan(theta) = 98tan(27^circ)

Passo 6

Vamos calcular o valor de tan(27^circ). Usando uma calculadora:
tan(27^circ) approx 0,5095

Passo 7

Agora, substituindo esse valor na equação:
d = 980,5095 approx 192 metros

Resposta

A distância entre a base da chaminé e a bóia salva-vidas é de aproximadamente 192 metros.

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