As transições eletrônicas entre níveis quânticos é um problema que depende do tempo, da distribuição de carga e da emissão ou absorção de um fóton. Este problema trata sobre esse assunto. Considere o elétron do átomo de Hidrogênio, e que
pode ocupar o nivel de energia n=1[E1, psi100] ou o nivel de energia n=2[E2, psi200]. Use estes dados para:
(a) Calcular a distribuição de carga para o átomo não excitado. Explique porquê o elétron não emite um fotón.
(b) Calcular a distribuição de carga para o átomo excitado. Analizando o resultado explique porquê o elétron emite radiação (emite um fóton). Calcule a frequência do fóton emitido.
(c) Calcular o tempo de vida do átomo excitado.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a distribuição de carga do elétron no átomo de Hidrogênio nos níveis quânticos n=1 e n=2, explicar por que não há emissão de fóton no estado fundamental, por que há emissão no estado excitado e calcular a frequência desse fóton, e por fim estimar o tempo de vida do nível excitado.
Conteúdo necessário: funções de onda estacionárias psi100 e psi200, densidade de carga rho(r,t)=-e|psi(r,t)|^2, noções de momento dipolar oscilante e coeficiente de Einstein A21 para decaimento espontâneo.

Passo 2

Distribuição de carga no nível fundamental n=1. A função de onda é
psi100(r)=1raizpi a0^3,e^-r/a0,
onde a0 é o raio de Bohr. Logo a densidade de carga é
rho1(r)=-e,l|psi100(r)r|^2 =-e,1pi a0^3,e^-2r/a0,
que depende apenas de r e não de t.

Passo 3

Como rho1(r) é independente do tempo, o dipolo elétrico médio
p(t)=integral r,rho1(r),d^3r é constante. Sem oscilação de dipolo não há emissão de radiação eletromagnética, portanto o elétron em n=1 não emite fóton.

Passo 4

Distribuição de carga no nível excitado n=2. A função de onda radial é
psi200(r)=14raiz2pi a0^3l(2-ra0r)e^-r/(2a0),
e
rho2(r)=-e,l|psi200(r)r|^2 =-e,132pi a0^3l(2-ra0r)^2e^-r/a0,
que também é estacionária se o estado for puro. Para que ocorra emissão, considere que imediatamente após a excitação o elétron está num estado misto (superposição)
Psi(r,t)=c1,psi100(r)e^-iE1t/hbar + c2,psi200(r)e^-iE2t/hbar,
com lvert c1c2rvertneq0. Então
rho(r,t)=-e,lvertPsi(r,t)rvert^2 =dots -2e,Rel[c1^*c2,psi100^*(r)psi200(r)e^-iomega0 tr],
onde
omega0=E2-E1hbar
O termo oscilante em cos(omega0t) faz o dipolo elétrico médio variar no tempo, gerando emissão de radiação ao longo de omega0.

Passo 5

Frequência do fóton emitido. Como
E1=-13,6;eV, E2=-13,64;eV=-3,4;eV,
temos
De<a E=E2-E1=10,2;eV,
então
nu=De<a Eh =10,2;eV4,136times10^-15;eVcdots approx2,47times10^15;Hz

Passo 6

Tempo de vida do nível n=2. Usamos o coeficiente de Einstein para decaimento espontâneo
A21 =omega0^3,lvertmu21rvert^23pivarepsilon0hbar c^3,
onde mu21=-elang<=psi100|z|psi200rang<=. O valor do integral dá lvertmu21rvertapprox0,74,e,a0. Substituindo números:
A21approx6,2times10^8;s^-1,
logo o tempo de vida é
tau=1A21approx1,6times10^-9;s

Resposta

(a) rho1(r)=-e,1pi a0^3e^-2r/a0. Não há emissão porque a densidade é estática e o dipolo não oscila.
(b) Em superposição surge um termo oscilante em cos(omega0t), com
nu=De<a E/happrox2,47times10^15,Hz.
(c) Tempo de vida do nível n=2: tauapprox1,6times10^-9,s.

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