Use uma integral de superfície para mostrar que a área de uma esfera de raio R é 4 \pi R^{2}. Em seguida, use o Teorema da Divergência para efetuar o mesmo cálculo.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos de dado.
Pedem para mostrar que a área de uma esfera de raio R é \,4\pi R^{2}.
Temos uma esfera centrada na origem com raio R. Isso significa que o conjunto de pontos da superfície satisfaz \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.
Perguntas explícitas:
Usar integral de superfície (parametrização) para calcular a área.
Usar o Teorema da Divergência para obter o mesmo resultado.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar na primeira solução (integral de superfície).
Se uma superfície suave S é parametrizada por um vetor posição \mathbf{r}(u,v), onde (u,v) varia numa região D do plano, a área da superfície é dada por
Aqui \mathbf{r}_{u} é a derivada parcial de \mathbf{r} em relação a u e \mathbf{r}_{v} é a derivada parcial em relação a v. O vetor \mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v} é ortogonal à superfície e sua norma dá o fator de escala que transforma a área do domínio (u,v) na área sobre a superfície.
Explicando as variáveis: u,v são parâmetros (por exemplo ângulos); \mathbf{r}(u,v) dá as coordenadas (x,y,z) de cada ponto da superfície; \|\cdot\| é a norma euclidiana.
Passo 3
Escolher uma parametrização conveniente da esfera (coordenadas esféricas).
Uma parametrização padrão da esfera de raio R é usar os ângulos \theta e \varphi:
\theta é o ângulo azimutal no plano xy, variando em [0,2\pi].
\varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z (colatitude), variando em [0,\pi].
Comentário: \mathbf{r}_{\theta} aponta na direção de variação quando mudamos \theta (movimento ao redor do eixo z), enquanto \mathbf{r}_{\varphi} aponta na direção de variação quando mudamos \varphi (movimento ao longo de um meridiano).
Passo 5
Calcular o produto vetorial \mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{\varphi} e sua norma.
Usamos a definição do produto vetorial. Calculando as componentes (determinante 3×3):
onde usamos que \sin\varphi\ge0 para \varphi\in[0,\pi].
Resumo: o elemento de área sobre a esfera é \;dS=\bigl\|\mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{\varphi}\bigr\|\,d\theta d\varphi = R^{2}\sin\varphi\,d\theta d\varphi.
Passo 6
Montar e calcular a integral dupla que dá a área da esfera.
A região dos parâmetros é \;0\le\theta\le2\pi,\;0\le\varphi\le\pi. Logo
A ideia essencial: parametrizar a esfera por ângulos e transformar a medida de área no domínio dos parâmetros usando o módulo do produto vetorial das derivadas parciais.
Resultado final obtido sem usar integrais complicadas: apenas integrais elementares de seno e constantes.
Passo 8
Preparação para a segunda solução: enunciar o Teorema da Divergência e escolher um campo vetorial conveniente.
O Teorema da Divergência (Gauss) diz que, para um campo vetorial suficientemente suave \mathbf{F} definido num volume V com fronteira orientada externamente S=\partial V,
Aqui \mathbf{n} é o vetor normal unitário para S apontando para fora do volume V, e \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}.
Para obter a área da esfera por esse teorema, precisamos de um campo \mathbf{F} tal que \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} seja proporcional à unidade (ou a uma constante) sobre a superfície, para que a integral de fluxo seja uma constante vezes a área. Uma escolha simples e eficaz é
\mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,z),
ou seja \mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{r}.
Passo 9
Calcular a divergência de \mathbf{F} e aplicar o Teorema da Divergência.
A segunda solução é elegante porque transforma o problema de área em um problema de fluxo de um campo simples cuja divergência é constante. A escolha \mathbf{F}=(x,y,z) é natural porque sua divergência é 3 e \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} sobre a esfera é constante.
Ambas as abordagens chegam ao mesmo resultado, o que reforça a correção: a área de uma esfera de raio R é \,4\pi R^{2}.