Use uma integral de superfície para mostrar que a área de uma esfera de raio R é 4 \pi R^{2}. Em seguida, use o Teorema da Divergência para efetuar o mesmo cálculo.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos de dado.
  • Pedem para mostrar que a área de uma esfera de raio R é \,4\pi R^{2}.
  • Temos uma esfera centrada na origem com raio R. Isso significa que o conjunto de pontos da superfície satisfaz \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.
Perguntas explícitas:
  1. Usar integral de superfície (parametrização) para calcular a área.
  2. Usar o Teorema da Divergência para obter o mesmo resultado.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar na primeira solução (integral de superfície).
  • Se uma superfície suave S é parametrizada por um vetor posição \mathbf{r}(u,v), onde (u,v) varia numa região D do plano, a área da superfície é dada por
\text{Área}(S)=\iint_{D}\bigl\|\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\bigr\|\,dudv.Á
  • Aqui \mathbf{r}_{u} é a derivada parcial de \mathbf{r} em relação a u e \mathbf{r}_{v} é a derivada parcial em relação a v. O vetor \mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v} é ortogonal à superfície e sua norma dá o fator de escala que transforma a área do domínio (u,v) na área sobre a superfície.
Explicando as variáveis: u,v são parâmetros (por exemplo ângulos); \mathbf{r}(u,v) dá as coordenadas (x,y,z) de cada ponto da superfície; \|\cdot\| é a norma euclidiana.

Passo 3

Escolher uma parametrização conveniente da esfera (coordenadas esféricas).
Uma parametrização padrão da esfera de raio R é usar os ângulos \theta e \varphi:
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, variando em [0,2\pi].
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z (colatitude), variando em [0,\pi].
A parametrização é
\mathbf{r}(\theta,\varphi)=\bigl(R\sin\varphi\cos\theta,\;R\sin\varphi\sin\theta,\;R\cos\varphi\bigr),
com \;0\le\theta\le2\pi\; e \;0\le\varphi\le\pi.
Explanação rápida: para cada par (\theta,\varphi) essa \mathbf{r} dá um ponto na superfície da esfera de raio R.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais \mathbf{r}_{\theta} e \mathbf{r}_{\varphi}.
Derivando componente a componente:
\mathbf{r}_{\theta}(\theta,\varphi)=\bigl(-R\sin\varphi\sin\theta,\;R\sin\varphi\cos\theta,\;0\bigr),
\mathbf{r}_{\varphi}(\theta,\varphi)=\bigl(R\cos\varphi\cos\theta,\;R\cos\varphi\sin\theta,\;-R\sin\varphi\bigr).
Comentário: \mathbf{r}_{\theta} aponta na direção de variação quando mudamos \theta (movimento ao redor do eixo z), enquanto \mathbf{r}_{\varphi} aponta na direção de variação quando mudamos \varphi (movimento ao longo de um meridiano).

Passo 5

Calcular o produto vetorial \mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{\varphi} e sua norma.
Usamos a definição do produto vetorial. Calculando as componentes (determinante 3×3):
\mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{\varphi} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ - R\sin\varphi\sin\theta & R\sin\varphi\cos\theta & 0 \\\ R\cos\varphi\cos\theta & R\cos\varphi\sin\theta & -R\sin\varphi \end{vmatrix}.
Computando as componentes (faça passo a passo na prova):
  • Componente em \mathbf{i}:
(R\sin\varphi\cos\theta)(-R\sin\varphi)-0\cdot(R\cos\varphi\sin\theta)=-R^{2}\sin^{2}\varphi\cos\theta.
  • Componente em \mathbf{j}:
0\cdot(R\cos\varphi\cos\theta)-(-R\sin\varphi\sin\theta)(-R\sin\varphi)=-R^{2}\sin^{2}\varphi\sin\theta.
(atenção ao sinal: troca-se sinal ao passar para a componente \mathbf{j}.)
  • Componente em \mathbf{k}:
(-R\sin\varphi\sin\theta)(R\cos\varphi\sin\theta)-(R\sin\varphi\cos\theta)(R\cos\varphi\cos\theta) =-R^{2}\sin\varphi\cos\varphi(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)=-R^{2}\sin\varphi\cos\varphi.
Portanto
\mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{\varphi}= -R^{2}\bigl(\sin^{2}\varphi\cos\theta,\;\sin^{2}\varphi\sin\theta,\;\sin\varphi\cos\varphi\bigr).
A norma desse vetor (usar \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1) é
\bigl\|\mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{\varphi}\bigr\| =R^{2}\sqrt{\sin^{4}\varphi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+\sin^{2}\varphi\cos^{2}\varphi}.
\bigl\|\mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{\varphi}\bigr\| =R^{2}\sqrt{\sin^{4}\varphi+\sin^{2}\varphi\cos^{2}\varphi} =R^{2}\sqrt{\sin^{2}\varphi(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi)}.
\bigl\|\mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{\varphi}\bigr\| =R^{2}\sqrt{\sin^{2}\varphi}=R^{2}\sin\varphi,
onde usamos que \sin\varphi\ge0 para \varphi\in[0,\pi].
Resumo: o elemento de área sobre a esfera é \;dS=\bigl\|\mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{\varphi}\bigr\|\,d\theta d\varphi = R^{2}\sin\varphi\,d\theta d\varphi.

Passo 6

Montar e calcular a integral dupla que dá a área da esfera.
A região dos parâmetros é \;0\le\theta\le2\pi,\;0\le\varphi\le\pi. Logo
\text{Área}(S)=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.Á
Como R^{2} não depende de \theta,\varphi, podemos tirar fora:
\text{Área}(S)=R^{2}\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right).Á
Calcule as integrais simples:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-( -1)=2.
Portanto
\text{Área}(S)=R^{2}\cdot 2\pi\cdot 2=4\pi R^{2}.Á

Passo 7

Comentário didático sobre a primeira solução.
  • A ideia essencial: parametrizar a esfera por ângulos e transformar a medida de área no domínio dos parâmetros usando o módulo do produto vetorial das derivadas parciais.
  • Resultado final obtido sem usar integrais complicadas: apenas integrais elementares de seno e constantes.

Passo 8

Preparação para a segunda solução: enunciar o Teorema da Divergência e escolher um campo vetorial conveniente.
  • O Teorema da Divergência (Gauss) diz que, para um campo vetorial suficientemente suave \mathbf{F} definido num volume V com fronteira orientada externamente S=\partial V,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
  • Aqui \mathbf{n} é o vetor normal unitário para S apontando para fora do volume V, e \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}.
Para obter a área da esfera por esse teorema, precisamos de um campo \mathbf{F} tal que \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} seja proporcional à unidade (ou a uma constante) sobre a superfície, para que a integral de fluxo seja uma constante vezes a área. Uma escolha simples e eficaz é
\mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,z),
ou seja \mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{r}.

Passo 9

Calcular a divergência de \mathbf{F} e aplicar o Teorema da Divergência.
Para \mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,z) temos
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.
Se V é a bola sólida de raio R centrada na origem, então pelo Teorema da Divergência
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}3\,dV=3\cdot\text{Vol}(V).
A volume da bola de raio R é bem conhecido:
\text{Vol}(V)=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Logo a integral de fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=3\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=4\pi R^{3}.

Passo 10

Expressar o mesmo fluxo em termos da área da esfera e isolar a área.
Sobre a superfície esférica de raio R centrada na origem, o vetor posição em um ponto da superfície é \mathbf{r}=(x,y,z) e a normal unitária externa é
\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|}=\frac{\mathbf{r}}{R}.
Então, ponto a ponto sobre a superfície,
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=\mathbf{r}\cdot\frac{\mathbf{r}}{R}=\frac{\|\mathbf{r}\|^{2}}{R}=\frac{R^{2}}{R}=R.
Ou seja, \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} é constante igual a R sobre toda a superfície. Portanto o fluxo pode ser escrito como
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=R\cdot\text{Área}(S).Á
Igualando com o valor obtido pelo teorema:
R\cdot\text{Área}(S)=4\pi R^{3}.Á
Dividindo por R (assumindo R>0):
\text{Área}(S)=4\pi R^{2}.Á

Passo 11

Comentário final e motivação prática.
  • A segunda solução é elegante porque transforma o problema de área em um problema de fluxo de um campo simples cuja divergência é constante. A escolha \mathbf{F}=(x,y,z) é natural porque sua divergência é 3 e \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} sobre a esfera é constante.
  • Ambas as abordagens chegam ao mesmo resultado, o que reforça a correção: a área de uma esfera de raio R é \,4\pi R^{2}.

Resposta

4\pi R^{2}

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