Seja
uma curva fechada simples suave que se situa no plano
. Mostre que a integral de linha
depende apenas da área da região englobada por
e não da forma de
ou de sua posição no plano.
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma curva fechada simples e suave
contida no plano . - A integral de linha fechada
O que se pede mostrar:
- Que essa integral depende apenas da área da região
englobada por (dentro do plano), e não da forma de nem de sua posição no plano.
Passo 2
Interpretação vetorial da integral de linha. Defino o campo vetorial
cujas componentes correspondem aos coeficientes da integral:
Assim a integral dada é a circulação de
ao longo de
:
Explicando rápido: se
for uma parametrização de
, então
que é exatamente a forma dada.
Passo 3
Calcular o rotor (curl) de
. Lembrando a fórmula
Agora as derivadas parciais, passo a passo:
Portanto
Observação importante: o rotor é um vetor constante, não depende de
.
Passo 4
Aplicar o Teorema de Stokes. O teorema de Stokes diz, sob hipóteses de suavidade,
onde
é qualquer superfície suave com
e
é o versor normal unitário à superfície escolhido com a orientação compatível com a orientação de
(regra da mão direita). No nosso caso podemos escolher
como a própria região plana
contida no plano
e com
. Como
é constante, ele pode sair da integral de superfície.
Passo 5
Calcular o produto escalar
na superfície planar. O plano tem vetor normal (não unitário)
porque a equação do plano é
. O versor unitário normal é
Agora o produto escalar com o rotor constante:
Note que esse número é constante em toda a superfície
.
Passo 6
Converter a integral de superfície em área multiplicada por constante. Pelo passo anterior e por Stokes,
Mas
é exatamente a área da região
no plano. Logo
desde que a orientação de
seja compatível com a orientação escolhida para
. Se a orientação de
for a oposta à compatível com
, o sinal da integral muda (fica negativo), i.e., a integral vale
.
Passo 7
Conclusão e interpretação pedagógica. Porque o rotor é constante e a normal do plano também é fixa, o integrando da integral de superfície é constante sobre
. Isso faz a integral depender apenas da medida da região
(a área) e não de como a fronteira
é traçada nem da posição dentro do mesmo plano: qualquer curva fechada
que envolva a mesma região
dá o mesmo valor. Se a curva move-se dentro do mesmo plano mas a área encerrada permanecer a mesma, a integral não muda. A única dependência extra é o sentido (orientação) de
, que introduz um sinal.
Resposta
onde
é a região de área englobada por
(com o sinal trocando se a orientação de
for a oposta à induzida pelo versor
).