Seja C uma curva fechada simples suave que se situa no plano x+y+z=1. Mostre que a integral de linha \oint_{C} z d x-2 x d y+3 y d z depende apenas da área da região englobada por C e não da forma de C ou de sua posição no plano.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma curva fechada simples e suave C contida no plano \,x+y+z=1\,.
  • A integral de linha fechada
\oint_{C} z\,dx - 2x\,dy + 3y\,dz.
O que se pede mostrar:
  • Que essa integral depende apenas da área da região D englobada por C (dentro do plano), e não da forma de C nem de sua posição no plano.

Passo 2

Interpretação vetorial da integral de linha. Defino o campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) cujas componentes correspondem aos coeficientes da integral:
P(z,x,y)=z,\qquad Q(z,x,y)=-2x,\qquad R(z,x,y)=3y.
Assim a integral dada é a circulação de \mathbf{F} ao longo de C:
\oint_C z\,dx - 2x\,dy + 3y\,dz = \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Explicando rápido: se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) for uma parametrização de C, então
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=P\,dx+Q\,dy+R\,dz,
que é exatamente a forma dada.

Passo 3

Calcular o rotor (curl) de \mathbf{F}. Lembrando a fórmula
\nabla\times\mathbf{F}=\biggl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\biggr).
Agora as derivadas parciais, passo a passo:
  • \dfrac{\partial R}{\partial y}=\dfrac{\partial (3y)}{\partial y}=3.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial z}=\dfrac{\partial (-2x)}{\partial z}=0.
  • \dfrac{\partial P}{\partial z}=\dfrac{\partial z}{\partial z}=1.
  • \dfrac{\partial R}{\partial x}=\dfrac{\partial (3y)}{\partial x}=0.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial (-2x)}{\partial x}=-2.
  • \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial y}=0.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=(3-0,\;1-0,\;-2-0)=(3,1,-2).
Observação importante: o rotor é um vetor constante, não depende de (x,y,z).

Passo 4

Aplicar o Teorema de Stokes. O teorema de Stokes diz, sob hipóteses de suavidade,
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS,
onde S é qualquer superfície suave com \partial S=C e \mathbf{n} é o versor normal unitário à superfície escolhido com a orientação compatível com a orientação de C (regra da mão direita). No nosso caso podemos escolher S como a própria região plana D contida no plano \,x+y+z=1\, e com \partial D=C. Como \nabla\times\mathbf{F} é constante, ele pode sair da integral de superfície.

Passo 5

Calcular o produto escalar (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} na superfície planar. O plano tem vetor normal (não unitário) \mathbf{N}=(1,1,1) porque a equação do plano é x+y+z=1. O versor unitário normal é
\hat{\mathbf{n}}=\frac{\mathbf{N}}{\|\mathbf{N}\|}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}.
Agora o produto escalar com o rotor constante:
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}=(3,1,-2)\cdot\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}} =\frac{3+1-2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Note que esse número é constante em toda a superfície D.

Passo 6

Converter a integral de superfície em área multiplicada por constante. Pelo passo anterior e por Stokes,
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{D} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS =\iint_{D} \frac{2}{\sqrt{3}}\,dS =\frac{2}{\sqrt{3}}\iint_{D} dS.
Mas \iint_{D} dS é exatamente a área da região D no plano. Logo
\oint_C z\,dx - 2x\,dy + 3y\,dz = \frac{2}{\sqrt{3}}\;\mathrm{Area}(D),
desde que a orientação de \hat{\mathbf{n}} seja compatível com a orientação escolhida para C. Se a orientação de C for a oposta à compatível com \hat{\mathbf{n}}, o sinal da integral muda (fica negativo), i.e., a integral vale -\dfrac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{Area}(D).

Passo 7

Conclusão e interpretação pedagógica. Porque o rotor é constante e a normal do plano também é fixa, o integrando da integral de superfície é constante sobre D. Isso faz a integral depender apenas da medida da região D (a área) e não de como a fronteira C é traçada nem da posição dentro do mesmo plano: qualquer curva fechada C que envolva a mesma região D dá o mesmo valor. Se a curva move-se dentro do mesmo plano mas a área encerrada permanecer a mesma, a integral não muda. A única dependência extra é o sentido (orientação) de C, que introduz um sinal.

Resposta

\displaystyle \oint_{C} z\,dx - 2x\,dy + 3y\,dz = \frac{2}{\sqrt{3}}\;\mathrm{Area}(D),
onde D é a região de área englobada por C (com o sinal trocando se a orientação de C for a oposta à induzida pelo versor \dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}).

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