Uma metalúrgica produz dois tipos de ligas metálicas. Cada liga é composta de proporções diferentes de Cobre, Zinco e Chumbo, os quais estão disponíveis em quantidades limitadas em estoque. Deseja-se determinar quanto produzir de cada liga metálica, de modo a maximizar a receita bruta, satisfazendo-se as seguintes composições das ligas e a disponibilidade de matéria-prima em estoque:
Matéria-prima Liga 1 Liga 2 Estoque
Cobre 50 % 30 % 3 ton
Zinco 10 % 20 % 1 ton
Chumbo 40 % 50 % 3 ton
Preço venda 3 mil 2 mil (R$ por ton)
Resolva o problema de otimização pelo método Tableau Simplex

Passo 1

O enunciado pede para decidir as quantidades x_{1} (ton de Liga 1) e x_{2} (ton de Liga 2) que maximizam a receita bruta, dada por
\max z = 3\,x_{1} + 2\,x_{2}
sujeito às restrições de matéria-prima:
0{,}5\,x_{1} + 0{,}3\,x_{2} \le 3,\quad 0{,}1\,x_{1} + 0{,}2\,x_{2} \le 1,\quad 0{,}4\,x_{1} + 0{,}5\,x_{2} \le 3,\quad x_{1},x_{2}\ge0.
O conteúdo é Programação Linear e vamos usar o método Tableau Simplex, introduzindo variáveis de folga s_{1},s_{2},s_{3}.

Passo 2

Em forma padrão (igualdades) com folgas, temos
\begin{cases} 0{,}5\,x_{1} + 0{,}3\,x_{2} + s_{1} = 3,\\\\ 0{,}1\,x_{1} + 0{,}2\,x_{2} + s_{2} = 1,\\\\ 0{,}4\,x_{1} + 0{,}5\,x_{2} + s_{3} = 3,\\\ \end{cases}
e a função-objetivo
z - 3\,x_{1} - 2\,x_{2} = 0.
O tableau inicial é:
\begin{array}{c|ccccc|c} & x_{1} & x_{2} & s_{1} & s_{2} & s_{3} & \text{b}\\hline s_{1} & 0{,}5 & 0{,}3 & 1 & 0 & 0 & 3\\\ s_{2} & 0{,}1 & 0{,}2 & 0 & 1 & 0 & 1\\\ s_{3} & 0{,}4 & 0{,}5 & 0 & 0 & 1 & 3\\hline z & -3 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}

Passo 3

Linha z tem coeficiente mais negativo em x_{1} (–3), então x_{1} entra. Teste de razão dá mínimo em s_{1} 3/0{,}5=6. Pivotamos no elemento (s_{1},x_{1})=0{,}5. O tableau após a primeira iteração é:
\begin{array}{c|ccccc|c} & x_{1} & x_{2} & s_{1} & s_{2} & s_{3} & \text{b}\\hline x_{1} & 1 & 0{,}6 & 2 & 0 & 0 & 6\\\ s_{2} & 0 & 0{,}14 & -0{,}2 & 1 & 0 & 0{,}4\\\ s_{3} & 0 & 0{,}26 & -0{,}8 & 0 & 1 & 0{,}6\\hline z & 0 & -0{,}2 & 6 & 0 & 0 & 18 \end{array}

Passo 4

Agora o coeficiente mais negativo em z é –0,2 em x_{2}, logo x_{2} entra. Razões: 6/0{,}6=10, 0{,}4/0{,}14\approx2{,}857, 0{,}6/0{,}26\approx2{,}308; o menor é na linha de s_{3}. Pivotamos em (s_{3},x_{2})=0{,}26. O tableau final fica:
\begin{array}{c|ccccc|c} & x_{1} & x_{2} & s_{1} & s_{2} & s_{3} & \text{b}\\hline x_{1} & 1 & 0 & \tfrac{50}{13} & 0 & -\tfrac{30}{13} & \tfrac{60}{13}\\\ s_{2} & 0 & 0 & \tfrac{3}{13} & 1 & -\tfrac{7}{13} & \tfrac{1}{13}\\\ x_{2} & 0 & 1 & -\tfrac{40}{13}& 0 & \tfrac{50}{13} & \tfrac{30}{13}\\hline z & 0 & 0 & \tfrac{70}{13} & 0 & \tfrac{10}{13} & \tfrac{240}{13} \end{array}

Passo 5

Na linha de z não há mais coeficiente negativo, então chegamos ao ótimo. As variáveis básicas são
x_{1} = \tfrac{60}{13},\quad x_{2} = \tfrac{30}{13},
e as folgas s_{1},s_{2},s_{3}\ge0 confirmam viabilidade.

Resposta

x_{1}=\displaystyle\frac{60}{13}\,\text{ton},\quad x_{2}=\displaystyle\frac{30}{13}\,\text{ton},\quad \text{receita máxima }z=\displaystyle\frac{240}{13}\,\text{(mil R\$)}.á

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